В кондитерской имеется 7 видов пирожных сколько различных наборов по 4 пирожных

1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания

Пусть есть некоторое конечное множество элементов U=<A1, A2, . AN>. Рассмотрим набор элементов , где ÎU, J = 1, 2, . R.

Этот набор называется выборкой объема R из N элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).

Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т. е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.

Принцип суммы: если card A = M, card B = N и AÇB = Æ , то card A È B = =M+N. На комбинаторном языке это означает: если объект A можно выбрать M способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B” может быть осуществлен M+N способами.

Принцип произведения: если card A=M, card B=N, то card (A´B)=M+N. На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран M способами, при любом выборе A объект B может быть выбран N способами, то выбор “A и B” может быть осуществлен M×N способами.

Пример 1. A = 10 <различных шоколадок>, B = 5 < различных пачек печенья>. Выбор “A или B” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в этом случае будет 15. Выбор “A и B” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.

Пример 2. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков?

Пусть M – число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, N – число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь M = N = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных и двух нечетных чисел будет 18.

Рассмотрим основные способы формирования выборок.

Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.

Перестановки. Упорядоченные выборки, объемом N из N элементов, где все элементы различны, называются перестановками из N элементов. Число перестановок из N элементов обозначается Pn.

Теорема. P = N!

Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если N = 1, то перестановка только одна и P1 = 1!. Пусть для N = K теорема верна и Pk = K!, покажем, что она тогда верна и для N = K+1. Рассмотрим (K+1)- й элемент, будем считать его объектом A, который можно выбрать K+1 способами. Тогда объект B – упорядоченная выборка из оставшихся K элементов по K. B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать K! способами. По принципу произведения выбор A и B можно осуществить K!(K+1) = (K+1)! способами. Совместный выбор A и B есть упорядоченная выборка из K + 1 элементов по K + 1.

Пример 3. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10!

Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать N способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (N — 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить N´(N — 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется N — 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: N(N — 1)(N — R) . 1.

Размещения. Упорядоченные выборки объемом M из N элементов (M < N), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из N элементов по M обозначается .

Теорема. =

Обозначим X = . Тогда оставшиеся (N – M) элементов можно упорядочить (N – M)! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать X способами, объект B (N – M)! способами, то совместный выбор “A и B” можно осуществить X ×(N – M)! способами, а выбор “A и B” есть перестановки и Pn = N! Отсюда X = =

Рассуждая иначе: первый элемент выбираем N способами, второй – (N – 1) способами и т. д. , M–й элемент выбираем (N – M + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: N(N – 1). (N – M +1), что совпадает с .

Пример 4. Группа из 15 человек выиграла 3 различных книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы?

Имеем = 15 ×14 ×13 = 2730.

Сочетания. Неупорядоченные выборки объемом M из N элементов (M < N) называются сочетаниями. Их число обозначается .

Теорема.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A – неупорядоченная выборка из N элементов по M, их число . После того, как эти M элементов отобраны, их можно упорядочить M! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “A и B“ – упорядоченная выборка.

Пример 5. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.

Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом M из N элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (N).

Теорема. (N) = Nm.

Доказательство. Первый элемент может быть выбран N способами, второй элемент также может быть выбран N способами и так далее, M — й элемент также может быть выбран N способами. По принципу произведения получаем Nm .

Пример 6. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь N = 10, M = 4 и ответом будет 104.

Пример 7. Рассмотрим вектор длины M, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?

Это есть выборка, объемом m из двух элементов. Ответ: 2M

Перестановки с повторениями. Пусть имеется N элементов, среди которых K1 элементов первого типа, K2 элементов второго типа и т. д., Ks элементов S-го типа, причем K1 + K2 + . + Ks = N. Упорядоченные выборки из таких N элементов по N называются перестановками с повторениями, их число обозначается CN(K1, K2, . Ks). Числа CN(K1, K2, . KS) называются полиномиальными коэффициентами.

Теорема. Cn(K1, . Ks)=

Доказательство проведем по индукции по S, т. е. по числу типов элементов. При S = 1 утверждение становится тривиальным: K1 = N, все элементы одного типа и CN(N) = 1. В качестве базы индукции возьмем S = 2, N = K1 + K2. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из N элементов по K1 (или K2): выбираем K1 место, куда помещаем элементы первого типа.

Cn(K1,K2) =

Пусть формула верна для S = M , т. е. N = K1 + . + Km и

Cn(K1, . Km)=

Докажем, что она верна для S = M + 1 (N = K1 +. + Km + Km+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A – выбор K m + 1 места для элементов (M + 1)-го типа; объект B – перестановка с повторениями из (N – Km+1) элементов. Объект A можно выбрать способом, B – (K1, . KM) способами. По принципу произведения

И мы получили требуемую формулу.

Замечание. Числа называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что

Пример 8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?

Решение. Буква “а” входит 3 раза (K 1= 3), буква “м” – 2 раза (K2 = 2), “т” – 2 раза (K3 = 2), буквы “е”, ”к”, ”и” входят по одному разу, отсюда K3 = K4 = K5 = 1.

C10 (3, 2, , 2, 1, 1, 1) = =151200.

Сочетания с повторениями. Пусть имеется N типов элементов, каждый тип содержит не менее M одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³ M´N ) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (N).

Теорема. (N) = .

Доказательство. Пусть в выборку вошло M1 элементов первого типа, M2 элементов второго типа, . MN – N-го типа. Причем каждое 0 £ M i£ M и M1+M2+ . + Mn= =M. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов <Bn> существует биекция (докажите это!). Следовательно, (N) равно числу векторов Bn. “ Длина вектора” Bn равна числу 0 и 1, или M+ +N–1. Число векторов равно числу способов, которыми M единиц можно поставить на M + N — 1 мест, а это будет .

Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что пирожных каждого вида ³ 4).

Число способов будет

Пример10. Пусть V = <A, B, C>. Объем выборки M = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

2. Размещения: <(Ab), (BC), (Ac), (Ba), (Cb), (Ca)>.

3. Сочетания: <(Ab), (Ac), (Bc)>.

4. Размещения с повторениями: <(Ab), (Bc), (Ac), (Ba), (Cb), (Ca), (Aa), (Bb), (Cc)>. (3)= 32 = 9.

5. Сочетания с повторениями: <(Ab), (Bc), (Ca), (Aa), (Bb), (Cc)>.

В кондитерской имеется 7 видов пирожных сколько различных наборов по 4 пирожных

В кондитерской имеется 7 видов пирожных сколько различных наборов по 4 пирожных

2). Числа 1, 2,…, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что на четных местах будут стоять четные числа.

3). Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, наудачу вынимаются 3 шара и откладываются в сторону. Найти вероятность того, что вынуто не менее двух белых шаров

4). В кондитерской имеются 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал по два пирожных различных вида.

5)Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить вероятность того, что хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

6)К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на перекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо. Через некоторое время все автомобили покинули перекресток. Найти вероятность того, что по одной улице поедут два автомобиля, по другой – один, по третьей также один.

7)Значения а и b равновозможны в квадрате "а" помодулю меньше или равно 1, "b" по модулю меньше или равно 1. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения х^2+2ax+b=0 действительны.

Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

X(7, 4) = с(7 + 4 — 1, 4) = 10 / 4(10 — 4) = 10 * 9 * 8 * 7 / 1 * 2 * 3 * 4 = 5040 / 24 = 210.

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное , песочное, бисквитное и заварное ?

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное , песочное, бисквитное и заварное .

Сколько различгых наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное, песочное, бисквитное и заварное?

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное, песочное, бисквитное и заварное.

Сколько различных наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

Как решить эту задачу.

Задача : В наборах было 36 пирожных?

Задача : В наборах было 36 пирожных.

Из одного набора съели 2 пирожных, что в три раза меньше, чем съели из другого набора набора.

Сколько пирожных осталось?

В буфете было 4 сорта пирожных — слоеное, песочное, бисквитное, заварное?

В буфете было 4 сорта пирожных — слоеное, песочное, бисквитное, заварное.

Сколько различных наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

Как это записать правильно в тетради по математике?

В виде действий?

В наборе 36 пирожных?

В наборе 36 пирожных.

Одна шестая часть пирожных — эклеры.

Сколько эклеров в наборе?

В буфете было 4 сорта пироженых : слоеное, песочное, бисквитное и заворное?

В буфете было 4 сорта пироженых : слоеное, песочное, бисквитное и заворное.

Сколько различных наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

В кондитерской имеется пять сортов пирожных?

В кондитерской имеется пять сортов пирожных.

Сколькими способами сладкоежка может выбрать два пирожных так, чтоб они обьязательно были разными?

Подсказка : закодируйте сорта пирожных, например присвоив им номера тт 1 до 5 Можно подробнее!

Для подарочных наборов взяли 60 бисквитных пирожных и 40 песочных из них составили 5 одинаковых наборов Сколько пирожных было в каждом наборе?

Для подарочных наборов взяли 60 бисквитных пирожных и 40 песочных из них составили 5 одинаковых наборов Сколько пирожных было в каждом наборе.

Для подарочных наборов взяли 60 бисквитных пирожных и 40 песочных?

Для подарочных наборов взяли 60 бисквитных пирожных и 40 песочных.

Из них составили 5 одинаковых наборов Сколько пирожных было в каждом наборе.

В наборах было 36 пирожных?

В наборах было 36 пирожных.

Из одного набора сели 2 пирожных, что в 3 раза меньше, чем сели из другого набора.

Сколько пирожных осталось.

На странице вопроса Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных? из категории Математика вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

4 х — 9 у просто ты должна сложить все дроби, то есть х с х, и у с у, после должен выйти данный ответ).

Решение указано на фотографии.

В 1642 — 1646 годах, в первый период гражданской войны, стороны придерживались наступательной стратегии и мало заботились об обороне.

D : ( — беск ; + беск) E : ( — 1 ; 1) нестрогое.

1) 0, 19 2) 0, 97 3) 1, 5 4) 1, 22 5) 0, 79 6) 0, 62.

Любое натуральное число от 2010 до 2019.

Пусть у Васи было х денег, а у Пети х денег Тогда у Пети стало х — 400, а у Васи х — 200. Получается уравнение (х — 400) * 5 = х — 200 5х — 2000 = х — 200 4х = 1800 х = 450 Ответ : 450 рублей.

№1 есть формула (U / V)' = ( U'V — UV') / V² y' = (x' — x * (x² — 4)' ) / (x² — 4)² = (1 — x * 2x) / (x² — 4)² = (1 — 2x²) / (x² — 4)² № 2 есть формула : (UV)' = U'V + UV' учтём, что первый множитель — сложная функция. Y = (e ^ — 1 / 4 x²) * x y' = ..

Ну если я правильно поняла, то примерно так.

Ниоткуда, должен 88 — из них 85 за телефон и 3 рубля , которые вернёт друг.

Сочетания с повторениями

Пусть задано 5 различных элементов a, b, с, d, е (в достаточном количестве комплектов) и пусть требуется составить из этих пяти элементов сочетания по 3 элемента с повторениями.

Это значит, что каждое соединение должно содержать три элемента и одно от другого должно отличаться по крайней мере одним элементом.

Если бы сочетания составлялись без повторений, то все они должны были бы быть различными:

Сочетания же с повторениями по три элемента из заданных пяти элементов будут иметь вид:

Таким образом, сочетание с повторениями из элементов по элементов (при ) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до т включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание из элементов по элементов может состоять не только из различных элементов, но и из каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

• Следует отметить, что если, например, два соединения по т элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число сочетаний с повторениями из элементов по будем обозначать символом

Существует формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

, здесь т может быть и больше п. (1.7.1)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Примеры с решением

Пример 1.

Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение:

где

п, 3, Сочетания с повторениями

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

В школьной столовой на десерт дают яблоки и гр В комплект входит три плода по выбору школьника. Сколько разных eapuai десерта возможно?

Решение:

Решение получим непосредственным переборам: яяя, яяг, ягг, ггг. Г чили четыре варианта. Это пример сочетаний из двух элементов с повт ниями, когда число элементов, из которых составляются сочетания , а ч элементов, образующих каждое сочетание , причем любой элемент i можно повторять до к раз. Если обозначить искомое количество всевозмож сочетаний

Ответ: 4 варианта.

Этот же результат можно получить по формуле:

где —число сочетаний из т элементов по к с повторения В примере 1:

Пример 3.

На «Поле чудес» победитель выиграл два приза. Всего имев пять разных видов призов. Сколькими способами может победитель отобр выигрыш, если каждого вида приза можно получить до двух штук.

Решение:

Решение перебором: если призы а, б, в, г и д, то возможный от( аа, бб, вв, гг, дд, аб, ав, аг, ад, бв, бг, бд, вг, вд, гд — всего 15 способов. По формуле (2.11):

Сочетаниями с повторениями из элементов по элементов называются неупорядоченные множества (любой набор) по элементов из данных элементов, причем любой элемент может повторятся до раз. Наибольшее количество таких наборов называе числом сочетаний из элементов по с повторениями.

Это число может быть получено по формуле (2.11).

Пример 4.

Сколько различных подарочных наборов из 12 конфет можно составить, если в наличии имеются конфеты трех видов (конфет каждого вида больше 12)?

Решение:

Порядок расположения конфет в наборе не имеет значения, поэтому задача сводится к подсчету числа сочетаний с повторениями из 12 элементов, выбираемых из элементов трех видов:

В кондитерской имеется 7 видов пирожных сколько различных наборов по 4 пирожных

2). Числа 1, 2,…, 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятность того, что на четных местах будут стоять четные числа.

3). Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, наудачу вынимаются 3 шара и откладываются в сторону. Найти вероятность того, что вынуто не менее двух белых шаров

4). В кондитерской имеются 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал по два пирожных различных вида.

5)Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить вероятность того, что хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

6)К четырехстороннему перекрестку с каждой стороны подъехало по автомобилю. Каждый автомобиль может с равной вероятностью совершить один из четырех маневров на перекрестке: развернуться и поехать обратно, поехать прямо, налево или направо. Через некоторое время все автомобили покинули перекресток. Найти вероятность того, что по одной улице поедут два автомобиля, по другой – один, по третьей также один.

7)Значения а и b равновозможны в квадрате "а" помодулю меньше или равно 1, "b" по модулю меньше или равно 1. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения х^2+2ax+b=0 действительны.

правильно ли решаю задачу на теорию вероятностей.

В кондитерской имеется семь видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал:
а) пирожные одного вида;
б) пирожные разных видов;
в) по два пирожных различных видов;

Нашел, что число всех возможных видов заказов 4 пирожных будет равно числу сочетаний с повторениями из 7 видов по 4:
n=(черта сверху)C по 4 элемента из 7 = С по 4 элемента из 7+4-1. почему так? Можно ли проще взять размещения с повторениями?