Что такое критические точки функции

Исследование функции: чётность, монотонность, точки экстремума, обратная функция.

— это задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. Вообще, это информация, помогающая узнать больше о функции, представить примерно (а затем, может быть, и точно) её график.

У функций есть достаточно много интересных свойств, многое говорящих об их природе.

Отдельно следует упомянуть и кратко пояснить основные моменты при любой работе с функциями: всегда в первую очередь следует определить область определения D(x) (в отечественных учебниках для российских школьников обычно обозначается D(y)) и облать значений E(y).

Область определения заданной функции есть множество точек, на котором задаётся функция, в каждой точке которого значение функции должно быть определено. Обозначение: D(x).

Область значений заданной функции есть множество, состоящее из всех значений, которые может принимать функция. Обозначение: E(y).

Одной из наиболее важных задач всегда является нахождение нулей функции: корней уравнения ƒ(x)=0, где ƒ( x ) — исследуемая функция (мест, где график функции пересекает Ox).

Также следует бегло указать, что иногда ищут промежутки знакопостоянства — промежутки, где знак функции не меняется. – это промежуток, *в каждой точке которого* функция положительна либо отрицательна (см. числовые промежутки).

Значения функции можно расписать: положительны при значениях аргумента в данных промежутках, отрицательны при значении аргумента в данных промежутках, функция обращается в ноль при аргументе равном. Это тоже важная часть исследования (которую очень удобно делать уже по готовому графику).

Чётность

Чётность/нечётность — это свойство, которым обладают функции. Функции могут быть чётными, нечётными, но основная масса является ни чётными, ни нечётными.

Чётные функции

— это функции, у которых противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции: ƒ(x)=ƒ(-x).

Чётные функции обладают рядом важных свойств.

1. Область определения чётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если x∈D(x), то -x∈D(x))
2. ∀x∈D(x) ƒ(x)=ƒ(-x) (согласно определению).
3. График функции симметричен относительно оси ординат.

Примером чётной функции могут служить модульная, квадратичная.

Нечётные функции

— это функции, у которых значению функции с противоположным аргументом соответствует значение, противоположное функции с изначальным аргументом: ƒ(-x)=-ƒ(x).

Нечётные функции (как и чётные) обладают рядом важных свойств.

1. Область определения нечётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если x∈D(x), то -x∈D(x))
2. ∀x∈D(x) ƒ(-x)=-ƒ(x) (согласно определению).
3. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Примером нечётной функции будет служить функция обратной пропорциональности, кубическая и т.д.

Ни чётные, ни нечётные функции

Зная, что функция является чётной или нечётной, с ней очень приятно и удобно работать. Однако, большинство функций таковыми не являются.

являются все остальные функции, не подпадающие под определение чётной и нечётной.

Думаю, здесь с примером проблем нет. Например, функция квадратного корня здесь уже обсуждалась.

Монотонность

График той или иной функции может быть не только симметричным относительно определённой точки или прямой, но также и убывающим или возрастающим. Убывает и возрастает функция на определённых промежутках. Монотонность функции — это её возрастание/убывание на данном промежутке.

Убывание (строгое) на промежутке

Говорят, функция ƒ(x) является (строго) убывающей на промежутке X, когда ∀x₁<x₂∈X ƒ(x₂)-ƒ(x₁)>0.

Возрастание (строгое) на промежутке

Говорят, функция ƒ(x) является (строго) убывающей на промежутке X, когда ∀x₁<x₂∈X ƒ(x₂)-ƒ(x₁)<0.

Соответственно, также как и чётные/нечётные функции обладают важными и удобными при работе с ними свойствами, так и строго монотонная функция представляет интерес. Строго монотонными называют функции между упорядоченными множествами, которые либо сохраняют, либо инвертируют отношение порядка. У них есть много полезных свойств.

На самом деле, при обсуждении монотонных функций можно говорить о более общем понятии просто (а не строго) монотонных функций. Итак, в целом, монотонная функция ƒ — это функция, приращение которой Δƒ=ƒ(x′)-ƒ(x) при Δx=x′-x>0 не меняет знака. Ещё лучше, если в дополнение приращение Δƒ не равно 0, тогда это и есть наиболее интересная строго возрастающая функция, обсуждающаяся выше.

Также следует заметить: если брать типом числового промежутка при определении возрастания/убывания интервал (так обычно и следует делать), то в случае, когда в концах промежутка функция оказывается определённой и непрерывной, концы также можно включить в промежуток — это не противоречит определению возр./уб. на промежутке.

За примерами монотонных (строго) функций не нужно далеко ходить: та же функция квадратного корня или совсем элементарная y=x — возрастающие, а убывающей будет, например, y=-x (по предыдущей ссылке объясняется почему).

И под конец о полезном: строго монотонные функции имеют некоторые свойства (что и так очевидно), помогающие решать уравнения и неравенства. Например, ясно, что график возрастающей/убывающей функции ƒ( x ) может лишь раз пересечь ось абсцисс (не может пересечь её более чем в одной точке), отсюда следует, что уравнение ƒ(x)=0 имеет не более одного действительного корня. Если же этот корень удалось вычислить, то можно без труда решить неравенства ƒ(x)< и ƒ(x)>0. Следует отметить, что при неудачной попытке определения точного значения нуля функции (корня) возможно по теореме Больцано-Коши (о нуле непрерывной функции) найти достаточно узкий отрезок, этот корень содержащий. Также, если имеется уравнение вида h(x)=g(x)⇔h(x)-g(x)=0, где y=g( x ) и y₁=h( x ) задают возрастающую и убывающую функции от переменной x (y: X∈ℝ→Y∈ℝ; y₁: Z∈ℝ→V∈ℝ), то оно тоже, очевидно, имеет в лучшем случае лишь один корень на поле действительных чисел (если, конечно, их области значений и определений, графики вообще пересекаются).

Точки экстремума

(от лат. крайний) — это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Далее речь пойдёт о локальных экстремумах на заданных промежутках — их у функции может быть любое количество. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, существуют точки максимума и минимума. Необходимо также заметить, что функция может и не иметь ни одного локального или абсолютного экстремума.

Минимум

x₀∈D(x) является точкой локального минимума функции ƒ(x), если существует такая проколотая окрестность U ε . x 0 :=[x₀-ε;x₀+ε]\0>, для которой верно следующее: ∀x∈ U ε . x 0 ƒ(x)>ƒ(x₀).

Максимум

x₀∈D(x) является точкой локального максимума функции ƒ(x), если существует такая проколотая окрестность U ε . x 0 :=[x₀-ε;x₀+ε]\0>, для которой верно следующее: ∀x∈ U ε . x 0 ƒ(x)<ƒ(x₀).

Кроме локальных минимумов и максимумов есть также абсолютные (глобальные), представляющие особый интерес — абсолютный экстремум является максимумом или минимумом не просто для какой-то окрестности, но для всей области определения функции.

Далее также следует, конечно, указать, что выше обсуждаются именно строгие экстремумы, но их также можно задать и нестрого (см. числовые неравенства).

И опять же: знание абсолютных максимумов/минимумов (да и локальных) очень полезно — оно позволяет сразу утверждать о рамках значения функции.

Функция, обратная данной

Теперь, обсудив все характерные и основные моменты исследования функции, можно перейти к достаточно интересному необязательному моменту: для данной функции можно определить обратную.

Пример обратной функции. Функция x = √ y и обратная ей функция y = x ², где x≥0

— это функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Обратная функция должна удовлетворять 3 условиям. Функция g(x) является обратной к функции ƒ(x) при выполнении следующих условий:

1. D(g)=E(ƒ) Область определения g(x) совпадает с областью значений ƒ(x).
2. E(g)=D(ƒ) Область значений g(x) совпадает с областью определения ƒ(x).
3. Если ƒ(x₀)=y₀, то g(y₀)=x₀. Eсли функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

Для решения самой задачи нахождения обратной функции необходимо решить уравнение y=ƒ(x) относительно x. Эту задачу можно решить только для обратимых функций. Если уравнение имеет более чем один корень, то функции, обратной к ƒ(x) не существует. Таким образом, функция ƒ(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

С примером взаимнообратных функций уже можно было столкнутся ещё здесь. А вот квадратичная функция — не биекция (взаимно-однозначное отображение), поэтому для неё нет обратной. Также функция sin x не является обратимой. А ещё примерами обратимых будет кубическая функция и т.д.

Обратную функцию можно обозначить ƒ -1 .

Возвращаясь к задачи нахождения обратной функции, первые два пункта, определяющие основные свойства обратной функции, очень важны — при её нахождении всегда следует проверять область определения и область значений.

Последнее очень полезное и удобное свойство взаимнообратных функций: пусть ƒ: X⊂ℝ→Y⊂ℝ — биекция, и тогда пусть ƒ -1 : Y→X — обратная ей функция, тогда графики функций y=ƒ(x) и y=ƒ -1 (x) симметричны относительно прямой y=x.

Пожалуй, о пользе обратной функции можно и не говорить: возможность обратить зависимость часто бывает очень полезна или даже необходима. Также обратные функции можно использовать, чтобы решать уравнения вида y=ƒ(x), где ƒ( x ) — обратимая функция.

fedor1113
К остальным темам

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. . Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и . Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.

2) слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума

3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и .

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Задача пример №117

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

Интервал Пробные точки

Знак Возрастание и убывание

При имеем . (-1;3) — максимум

При имеем (1;-1) — минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как , то критические точки можно найти из уравнения . Критическая точка не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции .

Решение:

1. Производная функции:

2. Критические точки: ,

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка (0; 1,5) возьмем

Для промежутка возьмем

Интервал

Пробные точки

Знак Возрастание-убывание

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

• Функция на промежутке возрастает.

• Точка критическая точка функции , но не является экстремумом.

• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция на промежутке убывает.

•

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции

Решение:

1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем Для возьмем

Интервал Пробные точки

Знак

Возрастание-убывание

• Функция на промежутке убывает.

• Функция на промежутке возрастает.

•

Задача пример №121

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка . Соответствующий график представлен на рисунке.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Что такое критические точки функции

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Как находятся критические точки функции? Как находятся критические точки функции?

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис. 5а, б) .

В точках x1, x2 ( рис. 5a ) и x3 ( рис. 5b ) производная равна 0; в точках x1, x2 ( рис. 5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x0 — точка экстремума функции f ( x ) и производная f’ существует в этой точке, то f’ ( x0 ) = 0.

Эта теорема — необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис. 6 ).

С другой стороны, функция y = | x | , представленная на рис. 3, имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то x0 — точка максимума.

Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x0 — точка минимума.