Фигура лиссажу на осциллографе как получить

4. Применение различных видов разверток

При использовании осциллографа частота в общем случае измеряется методом сравнения исследуемых колебаний с колебаниями известной частоты. Этот метод отличается относительной простотой, сравнительно высокой точностью и пригодностью для использования в широком диапазоне частот. Измерение можно проводить при трех видах развертки осциллографа: линейной, синусоидальной и круговой.

При линейной развертке в качестве образцовой частоты используется частота генератора развертки данного осциллографа. Напряжение неизвестной (измеряемой) частоты подают на вход канала вертикального отклонения осциллографа, а частоту генератора развертки изменяют до тех пор, пока на экране осциллографа не получится изображение одного периода исследуемого сигнала. При этом измеряемая частота равна установленной частоте развертки.

Если на экране осциллографа получится изображение нескольких периодов, то измеряемая частота будет в n раз больше частоты развертки, где n – число периодов исследуемого сигнала.

Достоинством данного способа является возможность измерения частоты периодического сигнала любой формы, недостатком – большая погрешность (до 5 – 10%).

Синусоидальная развертка применяется для измерения частоты или разности фаз. Для ее получения на пластины Х подают напряжение, изменяющееся по гармоническому закону от внешнего генератора, при этом генератор линейной развертки отключается.

Напряжение неизвестной частоты при синусоидальной развертке подается на вход канала вертикального отклонения, а напряжение образцовой частоты на вход канала горизонтального отклонения.

Изменяя образцовую частоту, получают на экране осциллографа медленно движущуюся фигуру Лиссажу. По виду фигуры Лиссажу можно судить о частоте и угле сдвига фазы неизвестного напряжения.

Полученную фигуру нужно мысленно пересечь вертикальной и горизонтальной линиями и сосчитать число пересечений по вертикали n _Y и по горизонтали n _X (см. рисунок 4).

Рисунок 4 – Определение неизвестной частоты по фигуре Лиссажу

Отношение этих чисел равно отношению образцовой f_X и измеряемой f_Y частот. Основное уравнение Лиссажу (1):

где f_X – частота, поданная на вход канала горизонтального отклонения (образцовая);

f_Y – частота, поданная на вход канала вертикального отклонения (измеряемая).

Метод фигур Лиссажу применяют при относительно небольшой кратности частот (не более 10), так как в ином случае фигуры становятся запутанными и с трудом поддаются расшифровке.

При большей кратности сравниваемых частот предпочтительным оказывается метод круговой развертки.

Для получения круговой развертки на пластины Y подается синусоидальный сигнал, а на пластины Х – аналогичный по форме и амплитуде сигнал, но отстающий по фазе на угол 90 °

При круговой развертке напряжение образцовой частоты U ₀ подается на оба входа осциллографа Х и Y через фазосдвигающую цепочку RC (см. рисунок 5).

Рисунок 5 – Получение круговой развертки при помощи фазосдвигающей цепочки RC

На экране осциллографа появляется линия развертки в виде окружности, которая вращается с частотой сигнала образцового генератора. Напряжение неизвестной частоты U _X подается на модулятор яркости электронно-лучевой трубки (вход Z ), и оно изменяет яркость линии развертки один раз в течение периода измеряемого сигнала.

Если измеряемая f_Х и образцовая f₀ частоты равны друг другу, то половина окружности будет светлой, а половина – темной. Если измеряемая частота f_Х больше образцовой частоты f₀, то на экране осциллографа получается окружность, состоящая из штрихов, число которых равно n .

Круговая развертка позволяет измерять частоты с кратностью большей, чем при синусоидальной развертке, так как штрихи считать удобнее, чем пересечения. Достоинством этого способа является малая погрешность измерения.

Процесс формирования фигур Лиссажу на экране осциллографа

Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу:

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз.

Рассмотрим перемещение луча при подаче переменных напряжений одновременно на обе пары пластин. Траектория перемещения луча будет иметь вполне определенные формы при различных соотношениях частот. Фигуры, образуемые лучом на экране, называют фигурами Лиссажу. Образование фигур Лиссажу на экране осциллографа рассмотрим на примере ряда синусоидальных сигналов, подаваемых на входы X и Y.

1. Оба сигнала имеют одинаковую частоту и фазу (f ₁ = f ₂, j ₁ = j ₂ = 0). Рассмотрим последовательно положение луча в различные моменты времени, разбив один период напряжений на временные интервалы (рис. 16.4). В моменты времени t ₀, t ₄ и t ₈ (U _x = 0 и U _y = 0) луч находится в центре экрана. В моменты времени t₂ и t₆ напряжение обоих сигналов имеет максимальное значение, и луч максимально отклоняется по осям x и y: (U _x = U _mx и U _y = U_my). Таким образом, при одинаковой частоте сигналов и одинаковых фазах луч двигается по наклонной прямой между точками 2 и 6, проходя промежуточные точки 1, 3, 5 и 7. Угол наклона прямой зависит от амплитудных значений U _mx и U _my.

Рис. 17.4 Последовательное положение луча в различные моменты времени

2. Оба сигнала имеют одинаковую частоту, но отличаются по фазе (f ₁= f ₂, v ₁=0, v ₂ = /4). Построение фигуры Лиссажу, выполненное аналогично по интервалам времени, приведено на рис. 17.5. Фигура Лиссажу имеет форму наклонного эллипса.

Рис. 17.5 Построение фигуры Лиссажу

3. Начальная фаза сигналов одинакова, частота второго сигнала в два раза выше (f ₂ = 2 f ₁, j ₁ = j ₂ = 0). Построенная по интервалам времени фигура Лиссажу приведена на рис. 17.6, и имеет устойчивую форму «восьмерки».

Рис. 17.6 Построенная по интервалам времени фигура Лиссажу в форме «восьмерки»

Таким образом, фигуры Лиссажу могут быть построены графически и воспроизведены на экране осциллографа. Выше рассмотрены фигуры, дающие устойчивое изображение. Критерием устойчивости изображения является кратность частот двух сигналов (отношение величин частот равно целому числу) и неизменность фазы. Это подтверждается аналитическ

Фигуры Лиссажу

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку — мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится — это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

1 — это горизонтальные пластины

2 — вертикальные пластины

ну и остальные детали — это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные — другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Как получить фигуры Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y — напряжение. Поэтому, по умолчанию, мы на осциллографе смотрим изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади — папа? Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Строим фигуры Лиссажу на осциллографе

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал — другой генератор частоты:

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Если взять 100 Герц на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой — через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры 😉

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение — это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа 😉

Фигура лиссажу на осциллографе как получить

Как профессиональный инженер я нередко переутомляюсь и испытываю стрессы. Когда я нуждаюсь в перерыве, я сажусь за стол и начинаю играть с волнами. Я наслаждаюсь созданием и созерцанием сигналов, имеющих самые различные формы и размеры. Это стало почти моей страстью, которая напоминает мне о магии волн в минуты напряжения.

Несмотря на невероятные эффекты компьютерных графических технологий, создание фигур Лиссажу и других изображений на экране осциллографа все еще захватывает нас. Они в деталях описаны на множестве онлайн страниц, где всегда можно найти несколько популярных картинок. Практически каждый инженер, работавший с осциллографом, в какой-то момент наблюдал эти фигуры. Технические журналы, в том числе и EDN, время от времени также публикуют материалы с описаниями способов рисования интересных фигур Лиссажу. Фигуры Лиссажу, по существу представляющие собой отображение взаимосвязей напряжений и частот двух сигналов, любили использовать создатели старых фантастических фильмов для представления «супертехнологий».

Для создания таких фигур вам потребуются два источника сигналов и двухканальный осциллограф с наличием режима «XY». В этой статье я использовал осциллограф Analog Arts SL987 с встроенным генератором сигналов произвольной формы, но вы можете использовать любой осциллограф и любой генератор. На Рисунке 1 показано, как должен быть соединен выход генератора сигналов с входом CH1 (или «X») осциллографа. Прежде всего, выход синхронизации генератора (SYNC) следует шунтировать на землю конденсатором 470 мкФ, чтобы уменьшить времена нарастания и спада. Затем через другой конденсатор 470 мкФ, блокирующий постоянную составляющую сигнала, подключают коаксиальным кабелем к входу CH2 (или «Y») осциллографа. В результате будет сформирована синхронизированная последовательность грубых треугольных импульсов, которая будет использоваться в качестве напряжения вертикальной развертки.

Рисунок 1.	Подключив два канала генератора сигналов, вы сможете увидеть фигуры Лиссажу.

Конденсаторы на выходе SYNC генератора искажают прямоугольные импульсы. При частоте выходного сигнала порядка 20 Гц искаженный сигнал SYNC будет иметь псевдотреугольную форму с амплитудой 1.2 В пик-пик. На Рисунке 2 желтым цветом изображен сигнал «X», синим – «Y», а результирующая фигура Лиссажу имеет розовый цвет.

Рисунок 2.	Для того, чтобы рисовать фигуры Лиссажу, каналы осциллографа надо использовать как входы X и Y.

Переключив генератор в режим сигналов произвольной формы, вы сможете создавать более изысканные и сложные фигуры. К примеру, генерация двух периодов синусоиды при объеме памяти 64 Кбайт и частоте выборки 1.3 МГц, позволяет нарисовать фигуру, показанную на Рисунке 3.

Рисунок 3.	А это более интересная фигура Лиссажу.

Фигуры Лиссажу – это здорово, но что, если бы вам удалось нарисовать на осциллографе лицо, или какое-нибудь другое произвольное изображение? Сформировав соответствующие сигналы на входах «X» и «Y», вы можете создать любую картинку. Фактически, в точности так же работали старые телевизоры с электронно-лучевой трубкой. Чтобы создать изображение на экране осциллографа, для каждого значения псевдотреугольного сигнала на входе «Y» должен быть рассчитан сигнал «X», основанный на цифровом представлении изображения. Остается решить небольшую проблему: как сгенерировать сигнал, соответствующий желаемому изображению. В любой заданный момент времени вертикальная развертка определяет место, где сейчас будет рисоваться картинка. Для примера представим, что сигнал нашей вертикальной развертки изменяется в диапазоне от –1 В до +1 В. Когда он равен –1 В, сигнал на входе CH1 или «X» должен рисовать нижнюю часть изображения, а когда 0 В – центральную строку изображения. Поскольку вертикальная развертка синхронизирована с генератором сигналов произвольной формы, мы можем точно предсказать ее положение для каждой выборки сигнала генератора. Таким же образом мы можем сформировать собственный сигнал произвольной формы. Примерно так же создается изображение в некоторых форматах видео.

В какие-то моменты времени сигнал генератора одновременно должен иметь амплитуду и –1 В, и +1 В. Как же это сделать? Вы можете решить задачу быстрым переключением между различными требуемыми напряжениями. Уровень сигнала на короткое время может оставаться равным –1 В, а затем быстро и ненадолго перескакивать на +1 В, потом вновь на –1 В, и так далее, период за периодом. Однако, для того, чтобы такая схема работала, вы должны убедиться, что ваш генератор функций имеет малое время нарастания, а полоса осциллографа достаточно широка.

Рисунок 4.	Дельфины на осциллографе? Кто бы мог подумать?

Вы можете взять любую черно-белую картинку (то есть, пиксельную карту, показывающую, где включать, а где выключать ваш сигнал). Я написал на Python простое приложение, преобразующее изображение в сигнал, который сохраняется в файле формата csv, и может быть загружен вами в функциональный генератор. Сам по себе сигнал генератора похож на тарабарщину. Но при наблюдении в режиме XY с вертикальной разверткой появляются исходные изображения. Как они выглядят, показано на Рисунках 4 и 5.

Рисунок 5.	Что бы сказал Элвис, увидев себя на экране осциллографа?

Обычно из картинок с четкими границами, таких, например, как в мультфильмах, получаются четкие изображения. Эффект «снега» в этих изображениях возникает из-за выходного фильтра генератора, ограничивающего полосу сигнала. В идеале, чтобы исключить эти эффекты, вам нужны бесконечные полосы пропускания, как генератора, так и осциллографа. Качество изображения можно повысить с помощью алгоритмов цифровой обработки сигналов. Но как бы то ни было, наблюдать картинки на экране осциллографа действительно очень приятно. Я призываю вас убедиться в этом самостоятельно. Однако, и я предупредил вас, это занятие, хоть и доставляет большое удовольствие, но может вызвать что-то типа наркотической зависимости.

Измерение частоты и сдвига фаз синусоидальных сигналов. Фигуры Лиссажу.

Осциллограф позволяет определить значение частоты и сдвиг фаз синусоидальных сигналов относительно друг друга. Измерение частоты и сдвига фаз производится сигнальным методом, называемым методом фигур Лиссажу.

Измерение неизвестной частоты синусоидального сигнала при помощи фигур Лиссажу производится следующим образом. Внутренняя развертка в данном методе не применяется; при этом переключатель осциллографов “Диапазоны частот” устанавливается в положение “0” — внутренняя развертка отключается.

Сигнал, частота f_x которого неизвестна, подается на один из входов осциллографа, например на “вход Х”. Сигнал известной частоты f₀ от эталонного генератора подается на другой вход осциллографа — “вход У”. Следовательно, электронный луч осциллографа под действием двух сигналов передвигается по сложной кривой, описывая на экране определенную фигуру — фигуру Лиссажу. Форма этой фигуры зависит от отношения амплитуд, частот и начальных фаз сравниваемых сигналов.

Рис.4г Рис.4д

Образование фигуры Лиссажу на экране осциллографа рассмотрим на примере ряда синусоидальных сигналов, подаваемых на входы Х и У (рис.3). Мы будем последовательно рассматривать положение луча на экране осциллографа в различные моменты времени (рис. 3а); различные моменты времени обозначены цифрами 1-9. В данном случае сигналы имеют одинаковую фазу: начальный момент времени t₁ напряжение V_x=V_y=0. Следовательно, в момент времени t₁ электронный луч попадает в центр экрана (точка 1, рис.3а). Смещение луча вправо или влево осуществляется под действием переменного напряжения V_x(t), изменяющегося с частотой f_x; смещение луча вверх или вниз осуществляется под действием переменного напряжения V_y изменяющегося с частотой f_y; в данном случае частоты f_x и f_y равны друг другу (рис.3а). Предполагается, что если напряжение V_x положительно, то луч смещается к правой пластине, если напряжение V_x отрицательно (например в моменты времени 5,6), то луч смещается влево, если напряжение V_y положительно (например в моменты 2,3), то электронный луч смещается вверх, если напряжение V_y отрицательно (например в моменты времени 5,6), то луч смещается вниз.

В момент времени t₂ за счет напряжения V_x луч смещается вправо, за счет V_y — вверх, поэтому в целом луч перемещается на экране по прямой в первой координатной четверти. В момент времени t₃ луч отклоняется по прямой 1-2-3 на максимальное расстояние. К моменту времени t₄ за счет уменьшения напряжения V_x, V_y луч смещается одновременно влево и вниз, наконец, в момент времени t₄ луч опять находится в центре экрана. В дальнейшем, в момент времени t₅ напряжение V_x и V_y имеют отрицательный знак, поэтому луч сильно смещен одновременно влево и вниз. В момент времени t₇ луч опять находится в центре экрана.

Таким образом, при одинаковой частоте сигналов и одинаковых фазах, фигура Лиссажу представляет собой прямую линию, наклон которой зависит только от соотношения амплитуд сигналов, подаваемых на входы Х и У. В частности, увеличение амплитуда сигнала, подаваемого на вход Х (напряжение V_x), приведет к уменьшению угла  между осью Х и прямой линией фигуры Лиссажу (рис.4,а, пунктирная линия).

Подадим на вход осциллографа (“вход Х”) сигнал частотой f_x; напряжение V_x (t) изображено на рис.3б; на “вход У” подадим сигнал, частота f_y которого в два раза больше, чем f_x, то есть f_y=2f_x. Начальные фазы сигналов в данном случае совпадают и равны 0: при начальном моменте времени t=0 напряжения V_x=V_y=0.Построение фигуры Лиссажу, получаемой на экране осциллографа, можно произвести с учетом напряжений V_x (t) и V_y(t) в моменты времени t₁, t₂ и т.д. В данном случае на экране получается устойчивая фигура Лиссажу в форме “восьмерки” (рис.3б); стрелками указано движение электронного луча по экрану в различные моменты времени.

Изменение фазы сравниваемых сигналов приводит к изменению формы фигуры Лиссажу. Например, на входы Х и У подаются сигналы V_x(t) и V_y(t) с разными начальными фазами: в момент времени t₁ напряжение V_x=0, а напряжение V_y>0. Частоты сигналов f_x и f_y одинаковы. Построение фигуры Лиссажу по принципу, описанному выше, показывает, что на экране виден наклонный эллипс (рис.3а).

Сравнивая рис.3а и 3в, получаем, что при одинаковых частотах f_x =f_y фигура Лиссажу может быть как прямой линией, так и эллипсом.

Форма фигуры Лиссажу может быть описана аналитически. Пусть на входы Х и У подается синусоидальное напряжение, для простоты одинаковой частоты f₀. Тогда координаты точки отклонения луча на экране (с учетом выражения (1)) будет описываться формулами:

;

(2)

;; ,

где х(t) и у(t) — отклонение луча по горизонтали и вертикали в момент времени t; а и b — амплитудные значения отклонений; ₀ — сдвиг фаз между исследуемыми сигналами.

Траектория луча на экране осциллографа описывается зависимостью у(х), то есть для получения зависимости у(х) необходимо из уравнений (2) исключить время t. Для этого делаем следующие преобразования:

;

(3)

или . (4)

Возведем выражение (3) в квадрат и умножим на величину sin 2 ₀, выражение (4) возведем в квадрат. В результате преобразований получим:

;

.

Сложим, получим выражения:

. (5)

Выражение (5) описывает геометрическую фигуру — эллипс. Ориентировка эллипса относительно осей Х и У зависит от значения ₀.

Для ₀ = 0 или ₀ = 180 уравнение приобретает вид:

, ;

, .

В этом случае на экране появляется прямая линия, аналогичная рассмотренной выше (см. рис. 3а).

В случае неравенства частот и фаз на экране осциллографа возникают более сложные фигуры Лиссажу. Фигуры на экране будут неподвижными, если сравниваемые частоты относятся как целые числа и фаза не изменяется.

Для определения отношения частот придерживаются следующего правила.

При измерении частоты неизвестного сигнала частоту эталонного генератора изменяют до тех пор, пока на экране не возникнет одна из фигур Лиссажу, возможно, более простой формы. Ее мысленно пересекают линиями ХХ и УУ, параллельными условным осям Х и У, и подсчитывают число пересечений каждой из линий ХХ и УУ с фигурой Лиссажу, видимой на экране осциллографа. Математический анализ показывает, что для соотношения частот справедливо следующее выражение: или , где f_y, f_x — частоты сигналов, подаваемых на пластины Х и У соответственно; nx, ny — число пересечений линий ХХ и УУ с фигурой Лиссажу.

В частности, для случая (рис.3б) отношение , т. е. ; справедливость расчета подтверждается построением рис. 3б. Аналогично можно доказать, что для фигур, изображенных на рис. 4. г, д отличаются значениями разности фаз между напряжениями сигналов, подаваемых на входы Х и У. Таким образом, подавая на пластины У сигналы эталонной f₀ (известной) частоты, а на пластины Х — сигнал неизвестной частоты f_x, можно, определив отношение , найти значение неизвестной частоты по формуле (6).

При помощи фигур Лиссажу можно измерять разность фаз между двумя периодическими сигналами. Рассмотрим метод измерения разности фаз на примере двух сигналов одинаковой частоты, подаваемых на входы Х и У.

Видно, что сигналы, подаваемые на входы Х и У, представляют собой гармонические колебания и, следовательно, описываются известным уравнением:

,

где U₀ — максимальное значение напряжения — амплитуда колебания; w — круговая (циклическая) частота, равная w=2f; ₀ — начальная фаза колебаний в момент времени t=0; (wt+₀) — фаза колебаний в момент времени t. Поскольку значение синуса может изменяться от -1 до +1, то напряжение сигнала изменяется со временем от -U₀ до +U₀.

Для нашего конкретного случая имеем:

;

.

Обратим внимание на то, что в любой момент времени фазы сигналов U_x и U_y одинаковы; в связи с этим говорят, что разность между сигналами равна нулю, сигналы изменяются с одинаковой фазой.

Для другого случая имеем

то есть разность фаз между сигналами, очевидно, равна /2.

Для третьегос лучая, имеем

то есть для данного случая разность фаз между сигналами равна /4.

Фигуры Лиссажу, получаемые на экранах осциллографов для различных случаев, представлены на рис. 5. Если сигналы одинаковой частоты изменяются в фазе (разность фаз равна нулю), то на экране будет наклонная линия (рис. 5, а); если сдвиг фаз равен /2, на экране будет круг (при одинаковых амплитудах сигналов); если разность фаз находится в пределах 0<₀</2, то на экране осциллографа будет фигура Лиссажу в виде наклонных эллипсов (рис. 5, в).

Исследование фигуры Лиссажу позволяет определить разность фаз между сигналами. Считаем, что на входы Х и У поданы сигналы

U_x = U₀*sin wt, U_y = U₀*sin(wt+₀); разность фаз между ними равна ₀. Данные напряжения вызовут смещение луча по горизонтали и вертикали экрана с учетом соотношения (1)

В зависимости от разности фаз фигура Лиссажу пересекает ось Х в одной или нескольких точках. Определим точку пересечения фигуры Лиссажу с осью абсцисс (точка М); из рис. 6.5, в видно, что координаты точки М: У=0, Х=Х₁. Значения Х₁ может быть определено на экране экспериментально.

Из уравнения (7) следует: y = 0 = h_y*U*sin (wt+₀),

то есть координата У = 0 при значении аргумента wt = -₀. При данном значении аргумента

С другой стороны, максимальное значение Х₀ (см. рис.5,в), которое также может быть определено экспериментально, равно (из уравнения (7)): x₀ = h_x*U₀.

Следовательно, отношение х₁ / х₀ = sin ₀ определяет значение ₀, то есть

или разность фаз между сигналами равна

Таким образом, определяя в ходе эксперимента значения Х₁ и Х₂, вычисляя отношение Х₁ / Х₀, можно с учетом уравнения (8) определить разность фаз между сигналами, подаваемыми на входы Х и У. Именно это осуществляется на практике.

Процесс формирования фигур Лиссажу на экране осциллографа

Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу:

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз.

Рассмотрим перемещение луча при подаче переменных напряжений одновременно на обе пары пластин. Траектория перемещения луча будет иметь вполне определенные формы при различных соотношениях частот. Фигуры, образуемые лучом на экране, называют фигурами Лиссажу. Образование фигур Лиссажу на экране осциллографа рассмотрим на примере ряда синусоидальных сигналов, подаваемых на входы X и Y.

1. Оба сигнала имеют одинаковую частоту и фазу (f ₁ = f ₂, j ₁ = j ₂ = 0). Рассмотрим последовательно положение луча в различные моменты времени, разбив один период напряжений на временные интервалы (рис. 16.4). В моменты времени t ₀, t ₄ и t ₈ (U _x = 0 и U _y = 0) луч находится в центре экрана. В моменты времени t₂ и t₆ напряжение обоих сигналов имеет максимальное значение, и луч максимально отклоняется по осям x и y: (U _x = U _mx и U _y = U_my). Таким образом, при одинаковой частоте сигналов и одинаковых фазах луч двигается по наклонной прямой между точками 2 и 6, проходя промежуточные точки 1, 3, 5 и 7. Угол наклона прямой зависит от амплитудных значений U _mx и U _my.

Рис. 17.4 Последовательное положение луча в различные моменты времени

2. Оба сигнала имеют одинаковую частоту, но отличаются по фазе (f ₁= f ₂, v ₁=0, v ₂ = /4). Построение фигуры Лиссажу, выполненное аналогично по интервалам времени, приведено на рис. 17.5. Фигура Лиссажу имеет форму наклонного эллипса.

Рис. 17.5 Построение фигуры Лиссажу

3. Начальная фаза сигналов одинакова, частота второго сигнала в два раза выше (f ₂ = 2 f ₁, j ₁ = j ₂ = 0). Построенная по интервалам времени фигура Лиссажу приведена на рис. 17.6, и имеет устойчивую форму «восьмерки».

Рис. 17.6 Построенная по интервалам времени фигура Лиссажу в форме «восьмерки»

Таким образом, фигуры Лиссажу могут быть построены графически и воспроизведены на экране осциллографа. Выше рассмотрены фигуры, дающие устойчивое изображение. Критерием устойчивости изображения является кратность частот двух сигналов (отношение величин частот равно целому числу) и неизменность фазы. Это подтверждается аналитическ

Фигуры Лиссажу

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку — мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится — это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

1 — это горизонтальные пластины

2 — вертикальные пластины

ну и остальные детали — это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные — другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Как получить фигуры Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y — напряжение. Поэтому, по умолчанию, мы на осциллографе смотрим изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади — папа? Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Строим фигуры Лиссажу на осциллографе

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал — другой генератор частоты:

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Если взять 100 Герц на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой — через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры ��

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение — это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа ��