Задание 19. Вариант 8. Сборник Ященко 36 вариантов ФИПИ школе ЕГЭ 2021.
Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.
а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).
б) Среди чисел 1, 2, . 74 есть 14 кратных 5, из них 25, 50 кратны 5 2 . Значит, 74! оканчивается на (14 − 2) + 2 · 2 = 16 нулей. При этом 75! = 74! · 75 окачивается на 18 нулей. Ясно, что при n < 74 число нулей будет не более 16, а при n > 75 — не менее 18.
в) Среди чисел от 1 до n ровно $$\left[\frac
нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому $$\left[\frac
Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.
Задание 18. Вариант 28 из 36 вариантов ЕГЭ 2023
Задание 18. Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).
а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 10 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 17 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа n∙ (75 — n)! оканчивается ровно 17 нулями?
Найдено решение такого же или подобного задания
Решение 3054. Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1). а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?
Задание 18. Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).
а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа n!∙(100 — n)! оканчивается ровно 23 нулями?
а) Для n = 40 получаем , где число p – это произведение всех кратных 5 натуральных чисел от 1 до 40, a q – это произведение всех не кратных 5 натуральных чисел от 1 до 40. Тогда число делится на , но не делится на , а число q делится на , но не делится на 5. Значит, число n! делится на , но не делится на , и, следовательно, его десятичная запись оканчивается ровно 9 нулями.
б) Для n = 99 получаем , где число p – это произведение всех кратных 5 натуральных чисел от 1 до 99, a q – это произведение всех не кратных 5 натуральных чисел от 1 до 99.
Тогда число , где число r не делится на 5. Следовательно, число p делится на , но не делится на . При этом число q делится на , но не делится на 5. Значит, число n! делится на , но не делится на , и, следовательно, его десятичная запись оканчивается ровно 22 нулями. Поэтому десятичная запись числа n! при n
в) Для каждого действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Тогда для любого натурального числа m и любого простого числа p среди чисел 1, 2, …, m найдется ровно чисел, кратных p, и чисел, кратных .
Поскольку при ни одно из чисел 1, 2, . m не кратно , то получаем, что число делится на и На но не делится на .
Для любого натурального числа n, меньшего 100, получаем: ,
Значит, для каждого такого n десятичная запись числа n!∙(100-n)! оканчивается ровно
Число равно 20 при n, кратных 5, и равно 19 при n, не кратных 5.
Число равно 4 при n, кратных 25, и равно 3 при n, не кратных 25. Значит, для числа
k = 24 при n, кратных 25,
k = 23 при n, кратных 5, но не кратных 25,
k = 22 при n, не кратных 5.
Следовательно, натуральное число n, меньшее 100, будет искомым тогда и только тогда, когда оно кратно 5, но не кратно 25.
Существует ли такое натуральное число n что десятичная запись числа оканчивается ровно 10 нулями
Существует ли такое натуральное n, что десятичная запись числа 2 n начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5 n начинается цифрой 2?
Решение 1
Пусть число 2 n записывается k цифрами, а 5 n – m цифрами. Если степени начинаются на 5 и 2, то 5·10 k–1 n k–1 , 2·10 m–1 n m–1 . Перемножим неравенства почленно: 10 k+m–1 n k+m–2 k+m , то есть k + m – 1 n ·5 n = 10 n . Если в записях 2 n и 5 n заменить нулями все цифры, кроме первых, каждое из чисел уменьшится, но не более чем в два раза. Произведение заменённых чисел будет меньше 10 n , но не более чем в 4 раза, поэтому оно не будет иметь вид 10. 0. Однако если бы одно из заменённых чисел начиналось на 5, а другое – на 2, произведение было бы 50. 0·20. 0 = 10. 0. Противоречие.
Олимпиадное: Десятичная запись числа
Определить, встречается ли в десятичной записи числа n десятичная запись числа m
Даны натуральные числа n (n>100) и m (10<m<99). Определить, встречается ли в десятичной записи.
Дана десятичная запись натурального числа N. Определить количество нечетных цифр числа N
Дана десятичная запись натурального числа N. Определить количество нечетных цифр числа N. Что.
Дана десятичная запись натурального числа N. Найти сумму всех четных цифр числа N
Дана десятичная запись натурального числа N. Найти сумму всех четных цифр числа N.