Сколько элементарных событий при пяти бросаниях монеты

Помогите пожалуйста?

Сколько элементарных событий при десяти бросаниях монеты?

Решение в приложении.

Какова вероятность того, что при шестикратном бросании монеты ни разу не выпадет орёл?

Какова вероятность того, что при шестикратном бросании монеты ни разу не выпадет орёл?

Будут ли среди десяти монет одинаковые?

Будут ли среди десяти монет одинаковые?

Есть ли среди десяти монет одинаковые?

Есть ли среди десяти монет одинаковые.

Вероятность совместного появления герба при одном бросании трёх монет?

Вероятность совместного появления герба при одном бросании трёх монет.

Монету бросают два раза выпишите все элементарные события этого эксперимента Событие А — первый раз выпал орёл Событие Б — вто рой ращ выпала решка Найдите вероятность каждого из этих событий и вероят?

Монету бросают два раза выпишите все элементарные события этого эксперимента Событие А — первый раз выпал орёл Событие Б — вто рой ращ выпала решка Найдите вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения.

Какова вероятность, что при бросании пяти монет герб откроется более чем на двух?

Какова вероятность, что при бросании пяти монет герб откроется более чем на двух?

Найдите вероятность события выпадения 2 очков при бросании игральной кости один раз?

Найдите вероятность события выпадения 2 очков при бросании игральной кости один раз.

Группа удачливых кладоискателей нашла клад – сундук с золотыми монетами?

Группа удачливых кладоискателей нашла клад – сундук с золотыми монетами.

Один из них взял себе сто золотых монет и десятую часть оставшегося клада.

Второй взял 200 монет и десятую часть остатка, третий – 300 монет и десятую часть остатка, и так далее.

Оказалось, что клад поделили поровну.

Определите, сколько было кладоискателей и сколько монет они нашли.

Найдите вероятность события выпадения более при бросании игральной кости один раз?

Найдите вероятность события выпадения более при бросании игральной кости один раз.

Три первоклассника по очереди покупают фломастеры?

Три первоклассника по очереди покупают фломастеры.

Каждый из них покупает фломастер одного из трех цветов : зеленого(З), синего(С) или красного(К).

Сколько у этого опыта элементарных событий.

Считая, что все элементарные события равновозможны, найдите вероятность каждого из них.

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос Помогите пожалуйста?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

Сколько элементарных событий при пяти бросаниях монеты

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Реши самостоятельно!

В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу.

1, 2, 3, 4, 5, 6

Задача2 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.

Решение :

Сумма будет нечетна, когда: 1) в первый раз выпадет нечетное число, а во второй четное . 2) в первый раз — четное , а во второй раз нечетное .

1) 3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа в первое бросание.

3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа во второе бросание.

0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно . 2) 3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа в первое бросание.

3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа во второе бросание.

0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

Ответ: 0,5

Задача 3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до десятых.

Решение :

1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5, а при втором броске выпадет 5 2) При первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5

• 5 : 6 = 5/6 – вероятность того, что выпадут 1; 2; 3; 4; 5

1 : 6 = 1/6 — вероятность выпадения 5

5/6 · 1/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события

• 1 : 6 = 1/6 — вероятность выпадения 5

5 : 6 = 5/6 — вероятность выпадения 1; 2; 3; 4; 5

1/6 · 5/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Задачи

на вероятность

с монетами

Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Сколько элементарных событий при пяти бросаниях монеты

—>
Тип 2 № 315953

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

Равновозможны 2 4  = 16 исходов эксперимента: орёл-орёл-орёл-орёл, орёл-орёл-орёл-решка, орёл-орёл-решка-орёл, орёл-решка-орёл-орёл, решка-орёл-орёл-орёл, решка-решка-орёл-орёл, решка-орёл-орёл-решка, орёл-орёл-решка-решка, орёл-решка-орёл-решка, решка-орёл-решка-орёл, орёл-решка-решка-орёл, решка-решка-решка-орёл, решка-решка-орёл-решка, решка-орёл-решка-решка, орёл-решка-решка-решка, решка-решка-решка-решка

Решка выпадает ровно два раз в шести случаях: орёл-орёл-решка-решка, решка-орёл-орёл-решка, решка-решка-орёл-орёл, решка-орёл-решка-орёл, орёл-решка-орёл-решка, орёл-решка-решка-орёл. Поэтому вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза, равна

Задачи по теории вероятности

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ reshenie_zadach_po_teorii_veroyatnostey._avtosokhranennyy.pptx

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

• Сейчас обучается 79 человек из 34 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогические и психологические аспекты подготовки школьников к сдаче ГИА

Курс повышения квалификации

Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО

• Сейчас обучается 22 человека из 18 регионов

«Домашнее обучение. Лайфхаки для родителей»

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение задач по теории вероятностей. Учитель математики МБОУ Нивнянская СОШ, Нечаева Тамара Ивановна

Цели урока: рассмотреть разные виды задач по теории вероятностей и методы их решения. Задачи урока: обучить распознавать различные разновидности задач по теории вероятностей и совершенствовать логическое мышление школьников.

Задача 1.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Задача 2.Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Задача 3.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Для того чтобы найти вероятность указанного события, необходимо рассмотреть все возможные исходы эксперимента, а затем из них выбрать благоприятные исходы (благоприятные исходы – это исходы удовлетворяющие требованиям задачи). В нашем случае, благоприятными будут те исходы, в которых при двух бросаниях симметричной монеты, орел выпадет только один раз. Вероятность события вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. Следовательно, вероятность того, что при двух кратном бросании симметричной монеты орел выпадет только один раз, равна: Р=2/4=0,5=50% Ответ: вероятность того, что в результате проведения вышеописанного эксперимента орел выпадет только один раз равна 50%. Номер эксперимента 1-ый бросок 2-ой бросок Сколько раз выпал орел 1 Орел Орел 2 2 Решка Решка 0 3 Орел Решка 1 4 Решка Орел 1

Задача 4. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4. Решение: Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Ответ:1/3 Всего граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Элементарные события: N=6 N(A)=2

Задача 5. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение: Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 — 0,8 = 0,2 А= По формуле умножения вероятностей Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Ответ: 0,02

Задача 6.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых Решение: Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы –на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36. Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, событию А = благоприятствует 5 элементарных исходов. Следовательно, т = 5. Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14.Ответ: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

Формула вероятности Теорема Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле: Где Cnk — число сочетаний из n элементов по k, которое считается по формуле:

Задача 7. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Решение По условию задачи, всего бросков было n =4. Требуемое число орлов: k =3. Подставляем n и k в формулу: С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же. Ответ: 0,25

Задача 8. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Решение Снова выписываем числа n и k. Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу: Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C30 = 1. Ответ: 0,125

Задача 9.В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка. Решение: Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий. Пусть p1 — вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем: Теперь найдем p2 — вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем: Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p1 и p2. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Ответ: 0,3125

Задача 10.Перед на­ча­лом во­лей­боль­но­го матча ка­пи­та­ны ко­манд тянут чест­ный жре­бий, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Ста­тор» по оче­ре­ди иг­ра­ет с ко­ман­да­ми «Ротор», «Мотор» и «Стар­тер». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что «Ста­тор» будет на­чи­нать толь­ко первую и по­след­нюю игры. Ре­ше­ние. Тре­бу­ет­ся найти ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния трех со­бы­тий: «Ста­тор» на­чи­на­ет первую игру, не на­чи­на­ет вто­рую игру, на­чи­на­ет тре­тью игру. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. Ве­ро­ят­ность каж­до­го из них равна 0,5, от­ку­да на­хо­дим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Ответ: 0,125.

Задача 11 Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9., Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01.Известнотельно что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом .Найдите вероятность, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным Решение. 1) 0,9 . 0,05 = 0,045 2) 1 – 0,05 = 0,95 3) 0,01 . 0,95 = 0,0095 ; 4)0,045 + 0,0095 = 0,0545

Задача 12 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,если стреляет из пристреленного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов,из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется Решение. Рассмотрим пристрелянный револьвер 1) 1 – 0,9 = 0,1 2) 4 : 10 = 0,4 Непристрелянный револьвер 3)1 – 0,2 = 0,8 ; 4)6 : 10 = 0,6 Вероятность находим сложением 5)0,4.0,1 + 0,8 . 0,6 = 0,52

Задача13 В группе туристов 5человек.С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию.Какова вероятность того,что А пойдет в магазин

Сколько элементарных событий при пяти бросаниях монеты

Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб поя- вится: а) 1 раз; б) 2 раза; в) 3 раза.

В таких случах полезно определить полную группу событий. Что здесь является событием? Пять возможных исходов орел/решка. Получаем, что в результате эксперимента возможны следующие варианты:
ООООО
ООООР
ОООРО
ОООРР
ООРОО
ООРОР
ООРРО
ООРРР
ОРООО
ОРООР
ОРОРО
ОРОРР
ОРРОО
ОРРОР
ОРРРО
ОРРРР
РОООО
РОООР
РООРО
РООРР
РОРОО
РОРОР
РОРРО
РОРРР
РРООО
РРООР
РРОРО
РРОРР
РРРОО
РРРОР
РРРРО
РРРРР
Уфф, хорошо, что есть copy-paste! Итак, получилось 32 равновероятных исхода. Следовательно, вероятность каждого конкретного исхода равна 1/32.

Рассмотрим, какие исходы нас интересуют в первом случае:
ООООР
ОООРО
ООРОО
ОРООО
РОООО
Их получилось 5. Значит, вероятность получить решку точно один раз равна 5/32.

Для второго случая подходят исходы:
ОООРР
ООРОР
ООРРО
ОРООР
ОРОРО
ОРРОО
РОООР
РООРО
РОРОО
РРООО
Их число оказалось 10. Значит, искомая вероятность равна 10/32.

А с третьим случаем всё просто. Если решка появится 3 раза, значит, орёл должен выпасть ровно 2 раза. Так как монета симметричная, то вероятность будет такая же, как во втором случае: 10/32.

А если монета бросается 100 раз, тоже будем переписывать все комбинации?? ?

Все решается в одну строчку. Всего вероятностей 2 исхода в степени 5 бросков=32. Или вероятность одного исхода (0,5) в степени количества бросков со знаком «-»
Что герб появится 1, 2 или 3 раза считаем по формуле: N!/((N!-M!)*M!) N количество бросков, M — количество твоих гербов
1 раз 120/24=5, вероятность 5/32
2 раза 120/12=10, 10/32
3 раза 120/12=10, 10/32

Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности

На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например «Симметричную монету бросают дважды. » или «Бросают 3 монеты . «, но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.

Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.

1. Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.

2. Комбинаторика + классическая вероятность

Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=\frac +\frac =\frac +4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

Например, если рассмотреть подобную задачу:

Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза

Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\\ m=C_8^4=\frac =\frac =70;\\ P=\frac =\frac =0.273. $$

Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).

Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).

Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.

Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot \left(1/2\right)^k \cdot \left(1-1/2\right)^ =C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n. $$

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n=\frac =C_n^k \cdot 0.5^n, \quad C_n^k=\frac . $$

А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 \cdot \left(1/2\right)^2=2 \cdot \frac =\frac =0.5.$

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 \cdot \left(1/2\right)^4+C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^4=(6+4) \cdot \frac =\frac =0.625.$$

Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 \cdot \left(1/2\right)^3=1 \cdot \frac =\frac =0.125.$

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 \cdot \left(1/2\right)^8+ C_8^7 \cdot \left(1/2\right)^8=(1+8) \cdot \frac =\frac =0.035.$$

Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.

Полезные ссылки

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Бросание монеты, вычисление количества событий

Есть 5 монет, их бросают.Сколько раз выпадет две головы.

Ответ.
1 монету можно разместить в 5 положениях, 2ю — в 4х.

5*4/2 = 10 раз выпадает 2 головы.
Откуда берется 2.
Дальше снова те же 5 монет, их бросают. Сколько раз выпадает 3 головы

Ответ.
1 — в 5 положениях
2ю в 4 х
3- в 3

Откуда вообще взялось 3*2 . и вообще откуда взялось 3? а 2?

Едем дальше
10 монет.бросаем. 5 голов выпадает
сколько раз?
ответ.
10*9*8*7*6/ (5*4*3*2*1)

Каким образом получается такой знаменатель?
(Пожалуйста, объясните без комбинаторных формул)

Бросание монеты
Если один раз подбростить монету есть вероятность один к одному что выпадел орел. Вопрос: а если 6.

Бросание несимметричной монеты
Помогите разобраться с данной задачкой: Вероятность выпадения 2х гербов при двукратном .

Бросание монеты, выпадение герба
Буду безмерно благодарен за помощь в решении данной задачи. Опыт: Бросание монеты Событие.

Программа моделирующая бросание монеты
Написал программу моделирующая 100 бросаний монеты. Все работает, но почему-то все 100 раз выпадает.

Решение №1759 В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.

Решение:

О – орёл
Р – решка

Может выпасть 2 исхода (О или Р), бросают 5 раз, всего различных вариантов выпадения:

2 5 = 32

Из них орёл выпадет ровна 3 раза в 10 вариантах ( перебирая варианты, удобно фиксировать одну Р, а вторую Р двигать, остальные места заполнять 3-мя О) :

Р РООО
Р ОРОО
Р ООРО
Р ОООР
О Р РОО
О Р ОРО
О Р ООР
ОО Р РО
ОО Р ОР
ООО Р Р

Вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза:

Сколько элементарных событий при пяти бросаниях монеты

Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб поя- вится: а) 1 раз; б) 2 раза; в) 3 раза.

В таких случах полезно определить полную группу событий. Что здесь является событием? Пять возможных исходов орел/решка. Получаем, что в результате эксперимента возможны следующие варианты:
ООООО
ООООР
ОООРО
ОООРР
ООРОО
ООРОР
ООРРО
ООРРР
ОРООО
ОРООР
ОРОРО
ОРОРР
ОРРОО
ОРРОР
ОРРРО
ОРРРР
РОООО
РОООР
РООРО
РООРР
РОРОО
РОРОР
РОРРО
РОРРР
РРООО
РРООР
РРОРО
РРОРР
РРРОО
РРРОР
РРРРО
РРРРР
Уфф, хорошо, что есть copy-paste! Итак, получилось 32 равновероятных исхода. Следовательно, вероятность каждого конкретного исхода равна 1/32.

Рассмотрим, какие исходы нас интересуют в первом случае:
ООООР
ОООРО
ООРОО
ОРООО
РОООО
Их получилось 5. Значит, вероятность получить решку точно один раз равна 5/32.

Для второго случая подходят исходы:
ОООРР
ООРОР
ООРРО
ОРООР
ОРОРО
ОРРОО
РОООР
РООРО
РОРОО
РРООО
Их число оказалось 10. Значит, искомая вероятность равна 10/32.

А с третьим случаем всё просто. Если решка появится 3 раза, значит, орёл должен выпасть ровно 2 раза. Так как монета симметричная, то вероятность будет такая же, как во втором случае: 10/32.

А если монета бросается 100 раз, тоже будем переписывать все комбинации?? ?

Все решается в одну строчку. Всего вероятностей 2 исхода в степени 5 бросков=32. Или вероятность одного исхода (0,5) в степени количества бросков со знаком «-»
Что герб появится 1, 2 или 3 раза считаем по формуле: N!/((N!-M!)*M!) N количество бросков, M — количество твоих гербов
1 раз 120/24=5, вероятность 5/32
2 раза 120/12=10, 10/32
3 раза 120/12=10, 10/32

Случайные события это те события которые при

Скачать презентацию Случайные события это те события которые при

• Количество слайдов: 73

Случайные события – это те события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Случайное событие может осуществиться только при определенных условиях. А =

Невозможные события – это такие события, которые в данных условиях произойти не могут. А = Достоверные события – это те события, которые в данных условиях обязательно произойдут. А =

Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные: «Меня завтра вызовут отвечать к доске» «Летом у меня будут каникулы» «Баскетбольный мяч попал в кольцо» «Я брошу игральную кость, и выпадет «шестерка» «Электрическая лампочка перегорит» «На морозе вода в стакане замерзнет» «В Москве завтра произойдет извержение вулкана»

Случайный опыт — те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие. Случайный опыт Случайное событие

Укажите, что является случайным опытом, а что – случайным событием: «В день самоуправления я буду директором школы» «Футбольный матч закончился победой сборной команд 8 «А» и 8 «Б» классов» «Я купила лотерейный билет и выиграла» «Лайнер «Титаник» столкнулся с айсбергом» «Молния ударила в дерево»

Элементарные события События, которые нельзя разделить на более простые, называются элементарными событиями. В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие.

Решение задач

Пункт 26 № 1. Андрей и Борис решили купить мороженое и встали в очередь. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите эти способы. Обозначим: Андрея- буквой А, а Бориса- Б. Друг за другом они могут расположиться только двумя способами АБ или БА. БА

Пункт 26 № 2. Вопрос : Сколько всего получилось элементарных событий? Условие В киоске продаётся три сорта мороженого: сливочное, шоколадное и клубничное. Андрей и Борис покупают по одной порции мороженого.

Решение Рассмотрим все варианты событий какой вкус могут купить Борис и Андрей. № Андрей 1 Шоколадное 2 Шоколадное Клубничное 3 Шоколадное Ванильное 4 Клубничное Шоколадное 5 Клубничное 6 Клубничное Ванильное 7 Ванильное Шоколадное 8 Ванильное Клубничное 9 Борис Ванильное Андрей Предположим, что Борис любит только шоколадное мороженное, тогда Андрей может купить любое из трех видов. Если Борис любит клубничное, то Андрей снова может купить все три вкуса. То же произойдет и с ванильным мороженным для Бориса. Ответ: всего получилось 9 элементарных событий. Но если предположить, что Андрей любит только шоколадное мороженное, то тогда Борис может попробовать все три вкуса. Но это уже есть в нашей таблице.

Пункт 26 № 3. Андрей, Борис и Владимир решили купить мороженое и встали в очередь за покупкой. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите все эти способы. Обозначим : Андрея- буквой А, Бориса- буквой Б, Владимира- буквой В. Следовательно, получается : АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Итого 6 способов

Пункт 26 № 4. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, а. Ьсd, саd и т. д. а) Является ли сdа. Ь элементарным событием в этом опыте? cdab не является элементарным событием, так как все бракованные детали обнаружили после второго извлечения. б) Какими буквами может заканчиваться запись элементарного события? запись элементарного события может заканчиваться буквами c или d.

Пункт 26 № 4. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, а. Ьсd, саd и т. д. в) Выпишите все элементарные события этого опыта. Мы знаем, что запись элементарного события должна заканчиваться буквами c или d. Сначала запишем все события (элементарные и неэлементарные), а потом вычеркнем те, которые заканчиваются на буквы a и b. Abcd badc cabd dabc Abdc bacd cadb dacb Adbс bdca cbad dbac Adсb bdac cbda dbca Acbd bcad cdab dcab Acdb bcda cdba dcba Посчитаем оставшиеся события : abcd, bdac, cabd, dabc, abdc, bacd, adbc, cbad, dbac, bdac, acbd, bcad, acdb.

Пункт 26 № 4. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, а. Ьсd, саd и т. д. г) Сколько различных элементарных событий записывается тремя буквами? Сначала составим все события: Вычеркнем неэлементарные: abc abd acd bcd acb adc bdc bad cad cbd bca bda cdb cab dba dac dbc cba dab dca dcb Остались события: acd, adc, cad, dac, bcd, bdc, cbd, dbc. Всего: 8

Пункт 26 № 5. Игральную кость подбрасывают дважды. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий этого эксперимента. Выделите в таблице элементарные события, при которых в сумме выпало: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 а) менее 4 очков б) ровно 7 очков в) ровно 11 очков г) четное число очков.

Пункт 26 № 6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. * Сколько элементарных событий при четырех бросаниях монеты? Опыт 4*: 16, т. к. при подбрасывании выпадает 16 разных комбинаций: 2 варианта на первое подбрасывание (О или Р) 2 варианта на второе подбрасывание (О или Р) 2 варианта на третье подбрасывание (О или Р) 2 варианта на четвертое подбрасывание (О или Р) Всего: 2 ∙ 2 ∙ 2=16 * Сколько элементарных событий при десяти бросаниях монеты? Опыт 5*: 1024, т. к. при подбрасывании выпадает 1024 различных комбинаций. Это можно узнать, возведя 2 в 10 степень.

Пункт 26 № 6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. Подбросим монету два раза. Появление двух орлов записывается как ОО. Это одно из элементарных событий этого опыта. Опыт 1: Элементарные события: ОО, РР, ОР, РО. Подбросим монету три раза. Выпишите все элементарные события этого опыта. Опыт 2: Элементарные события: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО. Во сколько раз больше число элементарных событий при трёх бросаниях монеты, чем при двух бросаниях монеты? Опыт 3: В 2 раза.

Пункт 26 № 7. Из закрепленного ружья стреляют по мишени, изображенной на рисунке. Выстрелить мимо мишени невозможно. Элементарным событием при одном выстреле будет выбивание определенного числа очков. Сколько элементарных событий в этом опыте: а) при двух выстрелах; б) при трех выстрелах?

А) При двух выстрелах, элементарных событий 10 х10=100, к каждому из десяти возможных элементарных событий при 1; 1 1; 2 выстреле может присоединиться 1; 9 1; 10 первом 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 1; 7 1; 8 любое из 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 2; 7 2; 1 2; 2 десяти событий при втором 2; 8 2; 9 2; 10 выстреле. Все 3; 100 5 3; 6 3; 7 3; 1 3; 2 3; 3 эти 4 3; элементарных 3; 8 3; 9 3; 10 событий записаны в таблице. 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 4; 7 4; 8 4; 9 4; 10 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 5; 7 5; 8 5; 9 5; 10 Б) При трёх выстрелах, элементарных событий 6; 10 х10 х10=1000, 4 каждому 6 6; 7 6; 8 6; 9 6; 10 1 6; 2 6; 3 6; к 6; 5 6; из десяти 7; возможных элементарных7; 6 7; 7 при 8 7; 9 7; 10 1 7; 2 7; 3 7; 4 7; 5 событий 7; первом 8; выстреле 8; 3 8; присоединиться любое 8 из 8; 9 8; 10 1 8; 2 может 4 8; 5 8; 6 8; 7 8; 9; десяти 2 событий при 9; 5 9; 6 9; 7 9; 8 9; 9 9; 10 1 9; 9; 3 9; 4 втором выстреле и может присоединиться любое из десяти событий при 10; третьем выстреле. 10; 1 10; двух выстрелах 100 элементарных 10; 9 10 а) При 2 10; 3 10; 4 10; 5 10; 6 10; 7 10; 8 событий б) При трёх выстрелах 1000 элементарных событий.

Пункт 26 № 8. Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик» . Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика» — буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ. а) Запишите все возможные элементарные события. Элементарные события : ММ, ФФ, МФМ, ФМФ, МФФ б) Запишите все элементарные события, при которых встречу выигрывает команда «Физик» . ФФ, ФМФ, МФФ Две буквы Ф, одна из которых является последней

Пункт 26 № 8. Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик» . Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика» — буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ. в) Предположим, что во встрече победила команда «Математик» . Какой буквой оканчивается запись соответствующих элементарных событий? Запись оканчивается буквой М г) Какое наибольшее количество матчей может состояться? 3 матча Если после первых двух игр победитель не определился, то победитель третьего матча станет победителем встречи

Пункт 26 № 9. Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Например, один из возможных путей записывается как ах, другой — как bz. Перечислите все возможные пути Красной Шапочки в домик бабушки. Сколько получилось таких путей?

Пункт 26 № 10. Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Сколько элементарных событий в этом опыте записывается одной, двумя, тремя буквами? 1) Одной буквой может быть записано 2 элементарных события: d и w. 2) Двумя буквами может быть записано 2 элементарных события: ax и bx. 3) Тремя буквами может быть записано 4 элементарных события: auw, buw, avw, bvw

Пункт 26 № 11. Игральную кость подбрасывают трижды. Сколько элементарных событий в этом эксперименте? У кости 6 граней, следовательно количество элементарных событий равно 6· 6· 6=216

Пункт 26 № 12. Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало: а) 2 очка; б) З очка; в) 4 очка. а) 0, т. к это невозможное событие. б)1, при выпадении 111 в)3, при выпадении 112, 121, 211

Пункт 26 № 13. Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало более: а) 17 очков; б) 16 очков; в) 15 очков. а) «выпало более 17 очков» элементарное событие: 6+6+6 Всего 1 элементарное событие. б) «выпало более 16 очков» элементарные события: 5+6+6, 6+6+5, 6+5+6, 6+6+6. Всего 4 элементарных события. в) «выпало более 15 очков» . элементарные события: 4+6+6, 6+6+4, 6+4+6, 5+5+6, 5+6+5, 6+5+5, 5+6+6, 6+5+6, 6+6+5, 6+6+6. Всего 10 элементарных событий.

Равновозможные элементарные события: Элементарные события, шансы которых одинаковы, называются равновозможными.

Вероятности элементарных событий: Р(а) – вероятность элементарного события а. Р(в) – вероятность элементарного события в. Р(с) –вероятность элементарного события с. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1. Р(а)+Р(в)+Р(с) =1.

Решение задач

Пункт 28 № 1. Случайный опыт может закончиться одним из трех элементарных событий: а, Ь или с. Чему равна вероятность элементарного события с, если а) А)P(c)=1 -1/2 — 1/3=1/6 , б) , Б)Р(с)=1 -0, 4 — 0, 2=0, 4 в) , В)Р(с)=1 -0, 1 — 0, 01=0, 89 г)* , Какие значения может принимать р. Г)*Р(с)=1 — p – (0, 8 -p)= =1 -p-0, 8+p= 0, 2 Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Пункт 28 № 2. Неправильная игральная кость такова, что вероятность выбросить грань, на которой 1 очко, равна 1/4 , вероятность выбросить грань с 2 очками равна 1/12 , с 3 очками — равна 1/4, с 5 очками — равна 1/12, а вероятность выбросить грань с 6 очками равна 1/6. Найдите вероятность выбросить грань с 4 очками. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна Вероятность выпадения четверки равна 1– 1/4 — 1/12 — 1/6=1/6 1.

Пункт 28 № 3. Все элементарные события случайного эксперимента равновозможны. Найдите вероятность каждого элементарного события, если их общее число равно: а) 25; 6)17; в) 100. Так как события равновозможны, то: А) Вероятность каждого события равна 1/25 Б) Вероятность каждого события равна 1/17 В) Вероятность каждого события равна 1/100

Пункт 28 № 4. Все элементарные события случайного опыта равновозможны. Сколько элементарных событий в этом опыте, если вероятность одного из них равна: а) 1/3 ; 6)0, 1; в) 0, 125; г) 1/n Если вероятность каждого из событий равна 1/n, то число элементарных событий равно n. А) вероятность 1/3, всего событий 3. Б) вероятность 0, 1=1/10 , всего событий 10. В) вероятность 0, 125=1/8, всего событий 8. Г) вероятность 1/n, всего событий n.

Пункт 28 № 5. В каждом из двух случайных опытов все элементарные события равновозможны. В каком из этих опытов вероятность элементарного события больше, если: а) в первом опыте элементарных событий больше, чем во втором; б) в первом опыте элементарных событий меньше, чем во втором; в) в этих опытах элементарных событий поровну?

Вариант А Опыт № 1 Опыт № 2 События N+Х N Вероятност ь 1/(Х+N) 1/N По условию: в первом опыте элементарных событий больше, чем во втором; Значит в опыте № 1 событий будет на Х больше Чтобы узнать вероятность, нужно 1/N, где N – кол-во элементарных событий.

Правильный ответ к варианту А Большая вероятность элементарного события будет в опыте № 2, т. к. 1/N больше чем 1/(Х+N)

Вариант Б Опыт № 1 События Вероятность Опыт № 2 N Х+N 1/(Х+N) В первом опыте элементарных событий меньше, чем во втором; В опыте № 2 вероятность будет на Х больше, чем в № 1 Вероятность равна 1/N, где N – количество элементарных событий. Большая вероятность элементарного события будет в опыте № 1, т. к. 1/N больше чем 1/(Х+N)

Вариант В Опыт № 1 События Вероятность Опыт № 2 N N 1/N В этих опытах элементарных событий поровну; В опыте № 2 вероятность будет равна вероятности в № 1 Вероятность равна 1/N, где N – количество элементарных событий. Вероятности в обоих опытах равны

Пункт 28 № 6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. Подбросим симметричную монету два раза. Равновозможны ли элементарные события ОО, РО, ОР и РР? Найдите их вероятности. • Эти события равновозможны, так как в результате опыта может наступить любое из этих элементарных событий. • Так как событий всего 4 и они равновозможны, то вероятность каждого равна ¼.

Пункт 28 № 7. Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность элементарных событий при: А) 3 бросаниях б) 4 бросаниях В)* 10 бросаниях • Если число элементарных событий равно N, то вероятность каждого из них равна 1/N. При 3 -х подбрасываниях монеты может выпасть: РРР , РРО, РОР РОО, ООО. ОРР, ОРО, ООР Всего элементарных событий 8, значит вероятность одного элементарного события равна 1/8.

Пункт 28 № 7. Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность элементарных событий при: А) 3 бросаниях б) 4 бросаниях В)* 10 бросаниях Б) При 4 бросаниях монеты может выпасть: ОООО ОООР ООРО ОРРО ОРОР ОРОО ОРРР РРОР РРРО РРОО РОРО РООР РООО РОРР РРРР Всего элементарных событий 16, значит вероятность одного элементарного события равна 1/16

Пункт 28 № 7. Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность элементарных событий при: а) 3 бросаниях б) 4 бросаниях в)* 10 бросаниях В)* При подбрасывании монеты 10 раз может выпасть 1024 различных комбинаций. Всего элементарных событий 1024, значит, вероятность одного элементарного события равна 1/1024

Пункт 28 № 8. Три богатыря Илья Муромец, Алеша Попович и Добрыня Никитич ехали по дороге и увидели развилку, а на ней — придорожный камень с предупреждением: Направо поедешь — коня потеряешь, Налево поедешь — копье потеряешь, Прямо поедешь — головы не снесешь. Богатыри разделились, и каждый поехал своей дорогой. Придумайте систему обозначений для элементарных событий этого опыта, запишите все элементарные события. Считая их равновозможными, найдите вероятность каждого из них.

Введем обозначения: На первом месте всегда будем записывать путь Ильи Муромца, Муромца на втором — Алеши Поповича на третьем — Добрыни Никитича Направления будем обозначать цифрами: • Направо – 1 • Налево – 2 Список элементарных событий • Прямо – 3 123, 132, 213, 231, 312, 321 Всего 6 элементарных событий Так как они равновозможны, вероятность каждого равна 1/6.

Пункт 28 № 9. Случайный опыт состоит в том, что Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рис. 6. Каждая дорожка обозначена буквой. Элементарным событием в этом опыте является выбранный путь. Например, ах или bz. Считая, что все элементарные события равновозможны, найдите вероятность каждого из них. Всего 12 путей: путей ax, ay, az, at bx, by, bz, bt cx, cy, cz, ct а т. к. события равновозможны, то вероятность каждого события равна 1/12

Пункт 28 № 10. Три первоклассника по очереди покупают воздушные шарики. Каждый из них покупает шарик одного из двух цветов: зеленого (З) или синего (С). Выпишите элементарные события этого эксперимента. Считая, что все они равновозможны, найдите вероятность каждого из них. Возможные комбинации ззз ззс зсз сзз зсс сзс ссз ссс Так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/8 ссс

Пункт 28 № 11. Три первоклассника по очереди покупают фломастеры. Каждый из них покупает фломастер одного из трех цветов: зеленого (З), синего (С) или красного (К). Сколько у этого опыта элементарных событий? Считая, что все элементарные события равновозможны, найдите вероятность каждого из них. Возможные комбинации ЗСК ЗКС СЗК КЗС СКЗ КСЗ ККЗ КЗК ЗКК ССЗ СЗС ЗСС ЗЗК ЗКЗ КЗЗ ЗЗС ЗСЗ СЗЗ ССК СКС КСК СКК ККС. ККК ССС ЗЗЗ Всего 27 вариантов Так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/27.

Пункт 28 № 12. Игральную кость подбрасывают несколько раз. Равновозможны ли элементарные события такого опыта? Найдите вероятность каждого элементарного события при: а) З бросаниях; 6) 4 бросаниях. Появление одного из 6 чисел на каждой кости равновозможны. А) Всего событий 6∙ 6∙ 6=216, а так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/216. Б) Всего событий 6∙ 6∙ 6∙ 6=1296, а так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/1296.

Благоприятствующие элементарные события Элементарные события, при которых наступает событие А, называются элементарными событиями, благоприятствующими событию А.

Самостоятельная работа № 1 а) стр. 100 № 3 а) № 7 а) № 9 а) 1 вариант № 1 б) стр. 100 № 3 б) № 7 б) № 9 б) 2 вариант

Вероятности событий

Правило вычисления вероятностей Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Пусть событию А благоприятствуют элементарные события a, b, c, d, тогда: Р(А)=P(a)+P(b)+P(c)+P(d).

Вероятность случайного события Р(A) = 0 , если событие не наступает (невозможное событие); Р(A) = 1 , если событие наступает всегда (достоверное событие)

Определение: События, которые имеют одинаковые вероятности, называются равновероятными.

Решение задач: № 1 а)б), № 2 а)б), № 3 а)б)в)

Элементарные события случайного опыта называются равновозможными, если все они имеют одинаковые шансы на осуществление. N – количество равновозможных элементарных событий некоторого опыта. Вероятности таких элементарных событий одинаковы и в сумме равны 1 => вероятность каждого элементарного события равна 1/N. N(A) – количество элементарных событий, благоприятствующих событию A. P(A) = N(A) N

Пример 1. 1; 1 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 Игральную кость бросают 2 раза. Найдем вероятность события А «сумма очков меньше 6» . Для этого воспользуемся таблицей элементарных событий этого эксперимента. 1; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Благоприятствующие элементарные события выделим зеленым цветом. Число благоприятствующих событий: N(A) = 10. Общее число элементарных событий: N = 36. Элементарные события равновозможны. Поэтому вероятность события А найдем по формуле 10 = P(A) = N(A) = 3636 8 5. N N 36 8 8

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найдем вероятность того, что оба раза выпала одна сторона. Обозначим выпадение орла буквой О, а решки – буквой Р и выпишем все элементарные события: ОО, ОР, РО и РР. Всего элементарных событий четыре. Так как монета симметричная, эти события равновозможны. Из них ровно два события ОО и РР благоприятствуют указанному событию. Вероятность получить оба раза одну сторону равна ²/₄=¹/₂.

Упражнение 1. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события: а) «выпало четное число очков» ; б) «выпало число очков, кратное трем» ; в) «выпало число очков, большее 3» ; г) «выпало число очков, кратное 7» . Решение: а) P(A)=N(A)=3=1; б) P(A)=2=1; в) P(A)=3=1; 6 г) P(A)=0=0 – это событие невозможное. 6 N 6 2 3 2 6

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка. Пример: число 24 имеет 8 делителей: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Кратным натурального числа a называют натуральное число, которое делится на a без остатка. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Пример. Первые пять чисел, кратные 8: 8; 16; 24; 32; 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Число 1 имеет только один делитель – само это число, — поэтому его не относят к простым. Первыми десятью простыми числами являются 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.

Упражнение 2. • Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события: а) «выпавшее число очков является делителем числа 12» ; б) «выпавшее число очков кратно 5» ; в) «выпавшее число очков является простым числом» . • • Решение: а) P(A)=5; 6 б) P(A)=1; 6 в) P(A)=3=1. 6 2

Натуральные числа – это те числа, которые используются для счета предметов и нумерации. 1; 2; 3; 4; 5… Натуральный ряд бесконечен. 1 – самое маленькое натуральное число. Упражнение 2 Делитель Упражнение 3 Кратное Простое число

A B Упражнение 3. Бросают симметричную монету 2 раза. Равные ли вероятности имеют события «два раза выпал орел» и «один раз выпал орел, а другой – решка» ? Найдите вероятности этих событий. Решение: ОО; ОР; РО; РР. P(A)=1/4; P(B)=2/4=1/2. Ответ: 1/4; 1/2; эти вероятности не равны.

Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события: а) «сумма очков на обеих костях равна 7» ; б) «сумма очков на обеих костях равна 11» ; в) «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой» ; г) «числа очков на костях различаются не больше, чем на 2» ; д) «произведение очков на обеих костях равно 10» ; е) «сумма очков на обеих костях делится на 3» . Упражнение 4. Решение: 6 а) P(A)=36 =1; 6 2 б) P(A)=36 =1 ; 18 15 5 в) P(A)=36 =12 ; г) P(A)=24=2; 36 3 2 1 д) P(A)=36 =18 ; 12 1 е) P(A)=36 =3. 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 1; 1 2; 1 1; 2 2; 2 1; 3 2; 3 1; 4 2; 4 1; 5 2; 5 1; 6 2; 1 3; 2; 2 3; 2; 3 3; 2; 4 3; 2; 5 3; 2; 6 3; 4; 1 3; 4; 2 3; 4; 3 3; 4; 4 3; 4; 5 3; 4; 6 4; 1 5; 4; 2 5; 4; 3 5; 4; 4 5; 4; 5 5; 4; 6 5; 6; 1 5; 6; 2 5; 6; 3 5; 6; 4 5; 6; 5 5; 6; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Упражнение 5. Пятачок идет из своего дома к дому Винни. Пуха, а Винни-Пух идет из своего дома к дому Пятачка. Каждый из них может выбрать наугад одну из дорожек. Найдите вероятность встречи для каждого случая. Решение: а) P(встречи)=1/2. б) в – верхняя с – средняя н – нижняя вв вс вн св сс сн нв нс нн P(встречи)=3/9=1/3. в) В этом случае шесть дорожек, следовательно опыт аналогичен бросанию игральной кости дважды, значит число элементарных событий опыта N=62=36. Число благоприятствующих элементарных событий N(встречи)=6 (по диагонали). P(встречи)=6/36=1/6. Ответ: 1/2; 1/3; 1/6.

Упражнение 6. В коробке лежат 24 одинаковые ручки. Из них 13 красных, 5 зеленых, остальные – синие. Продавец наудачу достает одну ручку. Найдите вероятности событий: а) «извлеченная ручка красная» ; б) «извлеченная рука не зеленая» ; в) «извлеченная ручка либо синяя, либо зеленая» ; г) «извлеченная ручка либо красная, либо синяя» . 22 4 Решение: 24 а) P(A)=13, 24 ручек 13, N(A)=13, N=24; 24 б) P(A)=19; 24 в) P(A)=11; 2424 24 т. к. красных г) P(A)=19. 24

Упражнение 10. ПСС ПС ПСМ П ПМС ПМ ПММ ПССММ ПСММС ПСМСМ ПМСМС ПММСС Решение: N=6 N(A)=2 P(A)=2/6=1/3 На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками.

Домашнее задание: 1. Читать пункт 30, 31 учебника. 2. Выполнить письменно на отдельных листочках №№ 7, 9, 12, 19.