Сколько существует девятизначных чисел цифры которых расположены в порядке убывания

Помогите плиз)) сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут( слева направо) в порядке убывания?

Помогите плиз)) сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут( слева направо) в порядке убывания?

Существует 2 числа :

ПОМОГИТЕ?

Сколько существуют натуральных чисел.

Меньше 100, цифры которых идут в возрастающем порядке.

Напишите девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах и увеличиваются слева направо?

Напишите девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах и увеличиваются слева направо.

Напишите девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах также различны, но уменьшаю тся слева направо.

Сколько существует различных девятизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2?

Сколько существует различных девятизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2.

Напишите какое — нибудь трехзначное число, у которого цифры слева направо идут в порядке возрастания, а если его умножить на 3, то у результата цифры будут идти в порядке убывания?

Напишите какое — нибудь трехзначное число, у которого цифры слева направо идут в порядке возрастания, а если его умножить на 3, то у результата цифры будут идти в порядке убывания?

Сколько существует трёхзначных чисел, цифры в которых расположены по возрастанию слева направо?

Сколько существует трёхзначных чисел, цифры в которых расположены по возрастанию слева направо?

Сколько существует трехзначных чисел от 700 до 900 включительно, у каждого из которых цифры слева направо возрастают?

Сколько существует трехзначных чисел от 700 до 900 включительно, у каждого из которых цифры слева направо возрастают?

Запиши девятизначные числа , у которых все цифры в разрядах различны и уменьшаются слева на право?

Запиши девятизначные числа , у которых все цифры в разрядах различны и уменьшаются слева на право.

Запиши девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах различны и увеличиваются слева направо?

Запиши девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах различны и увеличиваются слева направо.

Запишите девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах различны и увеличиваются слева направо?

Запишите девятизначные числа, у которых все цифры в разрядах различны и увеличиваются слева направо.

Сколько существует восьмизначных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания?

Сколько существует восьмизначных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания.

Вы находитесь на странице вопроса Помогите плиз)) сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут( слева направо) в порядке убывания? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

• Все категории
• экономические 43,679
• гуманитарные 33,657
• юридические 17,917
• школьный раздел 612,441
• разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Комбинаторика

Четверо друзей устроили турнир по шашкам. Каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько всего партий было сыграно?

Назовём число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число 78587 — зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры 1 и 0.

Каждую клетку квадратной таблицы $2\times2$ можно покрасить в чёрный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Найдите все пятизначные числа, в записи которых входят только цифры 0 и 1 и которые делятся и на 2, и на 3.

Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры числа: а) 133; б) 9854; в) 3213; г) 98561; д) 32123?

Сколько всего пятизначных чисел? Сколько пятизначных чисел, в десятичной записи которых все цифры нечётные?

Сколько существует девятизначных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания?

В школе прошёл забег с участием 5 спортсменов, и все заняли разные места (с первого по пятое). Когда на следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, каждый назвал одно число от 1 до 5, причём сумма всех пяти ответов оказалась равна 22. Какое наименьшее количество врунишек могло быть среди этих спортсменов?

Студент за 5 лет учёбы в университете сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвёртом курсе?

На гранях кубика написаны числа от 1 до 6. Кубик бросили 2 раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, а во второй $-$ 15. Что написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь. Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)

В нашем классе каждая девочка дружит ровно с тремя мальчиками, а каждый мальчик ровно с двумя девочками. Сколько детей в классе, если мальчиков на 5 больше, чем девочек?

Олимпиадные задания. Блок задач 2

Задача 1. Расшифровать пример на вычитание КРЫСЫ –СЫРЫ =СЫТЫ
Одним и тем же буквам соответствуют одинаковые циф-ры, разным – разные.

Задача 2. Если к некоторому трехзначному числу приписать слева 5, то получится точный квадрат. Если к этому же числу приписать справа 1, то также получится полный квадрат. Найти это число.

Задача 3. В хороводе по кругу стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки – мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков и девочек в хороводе?

Задача 4. На острове О живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев — А и Б. Туземец А произнес фразу: «По крайней мере, один из нас (А и Б ) — лжец». Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

Задача 5. По дороге едут автомобили: на запад — «Москвич» и «Жигули» с равными между собой скоростями, а на восток — «Мерседес» и БМВ с равными между со-бой скоростями. «Москвич» встретился с БМВ в 1200, «Жигули» с БМВ — в 1500, «Москвич» и «Мерседес» — в 1400. Когда встретились «Жигули» и «Мерседес»?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задание № 2.1

Задача 1. Расшифровать пример на вычитание КРЫСЫ – СЫРЫ = СЫТЫ
Одним и тем же буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.
Решение
Легко видеть, что Ы = О, К = 1, С >= 5.
Проведем перебор.
Если С=5, то СЫРЫ < 5100, СЫТЫ < 5100, откуда КРЫСЫ < 10200 и Р =О, что невозможно (так как Р не может совпадать с Ы).
Если С=6, то Р=2, Т=4 и имеем равенство 12060-6020=6040.
Если с=7, то Р=4, Т=3 и получаем 14070-7040=7030.
Если С=8, то Р=6, Т=2 и тогда 16080 — 8060=8020.
Если С=9, то Р=8, Т=1, что невозможно (так как Т не может совпадать с К).
Ответ: 12060-6020+6040,14070-7040=7030,16080-8060=8020.

Задача 2. Если к некоторому трехзначному чис-лу приписать слева 5, то получится точный квадрат. Если к этому же числу приписать справа 1, то также получится полный квадрат. Найти это число.
Решение:
Пусть данное число авс. Тогда 5 авс и авс1 – точ-ные квадраты.
Из четырехзначных чисел, начинающихся цифрой 5 квадратами являются 5184, 5329,5479,5625,5776,5929.
Проверим, какие из чисел 1841, 3291, 4791, 6251, 7761, 9291 являются точными квадратами.
Таковыми является число 4761. Значит, искомое число 16.

Задача 3. В хороводе по кругу стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки – мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков и девочек в хороводе?
Решение:
Пусть в хороводе х мальчиков имеют соседа справа мальчика, тогда х мальчиков имеют соседа справа – де-вочку. Значит, в хороводе х девочек. А всего х+х+х=30, т.е. х = 10. Значит, в хороводе 10 девочек и 20 мальчиков.
Задача 4. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и Б. Туземец А произнес фразу: «По крайней мере, один из нас (А и Б) – лжец». Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

Решение
Если А – лжец, то его утверждение неверно, т.е. оба должны быть рыцарями. Противоречие. Значит, А – ры-царь. Тогда его утверждение верно и, следовательно, Б – лжец.

Задача 5. По дороге едут автомобили: на запад — «Москвич» и «Жигули» с равными между собой скоро-стями, а на восток — «Мерседес» и БМВ с равными между собой скоростями. «Москвич» встретился с БМВ с 1200, «Жигули с БМВ — в 1500, «Москвич» и «Мерседес» — в 1400. Когда встретились «Жигули» и «Мерседес»?

Решение
Расстояние между автомобилями БМВ и «Мерседес» и их скорости не меняются, а скорости «Москвича» и «Жигулей» равны. «Москвич» встретил «Мерседес» через 2 часа после БМВ, значит, «Жигули» встретят «Мерседес» тоже через 2 часа после БМВ, т.е. в 1700.

Задание № 2.2

Задача 1. В выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9 расставить скобки так, чтобы результат был: а) минимальным;
б) максимальным.

Задача 2. Сколько существует девятизначных чи-сел, у которых все цифры различны и идут (слева напра-во) в порядке убывания?

Задача 3. (Старинная задача). За 25 бубликов за-платили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?

Задача 4. Вершину А прямоугольника АВСD соеди-нили отрезками с серединами сторон ВС и СD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдовое длиннее другого?

Задача 5. Числитель и знаменатель дроби –положительные числа. Числитель увеличили на 1, а зна-менатель – на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задание № 2.2

Задача 1. В выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9 расста-вить скобки так, чтобы результат был: а) минималь-ным; б) максимальным.
Решение:
Для получения минимального результата скобки в выражении расставлять не надо, поскольку деление на любое число вида к:(к+1) будет заменено умножением на дробь (к+1)/к — неправильную.
И получаем:
1:2:3:4:5:6:7:8:9= 1/(2*3*4*5*6*7*8*9),
действительно, произведение в знаменателе дает наибольшее из всех возможных значений.
Поэтому наибольшее значение выражения будет
1/(2:3:4:5:6:7:8:9)=1/(2/(3*4*5*6*7*8*9))=
=1*3*4*5*6*7*8*9/2=9!/22.
Задача 2. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?
Решение:
Запишем все цифры в ряд в порядке убывания: 9876543210. Очевидно, каждое из искомых чисел получа-ется вычеркиванием одной цифры из полученного ряда. Это можно сделать десятью разными способами, поэтому искомых чисел десять.
Задача 3. (Старинная задача). За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?
Решение:
Пусть х рублей — цена 1 бублика, у бубликов можно купить за рубль. Тогда по условию задачи 25 х=у, ху =1
Из второго уравнения следует . Умножая пер-вое уравнение на х, получаем 25х2=ху, т.е. 25х2=1. Откуда .
Поскольку условию задачи соответствует только положительное значение х, получаем: х=1/5.
Значит, один бублик стоит 1/5 руб.

Задача 4. Вершину А прямоугольника АВСD со-единили отрезками с серединами сторон ВС и СD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
Решение:
Обозначим середину стороны ВС через Е, а сере-дину стороны СD –через F. Нетрудно показать, что ЕF‹АЕ (например, заметив, что в треугольнике DЕF сторона DЕ, равная отрезку АЕ, лежит против тупого угла). Из тре-угольника АЕ получаем теперь АF‹АЕ+ЕF‹2АЕ, откуда вытекает, что ответ на вопрос задачи отрицателен.
Можно решать эту задачу и с помощью теоремы Пифагора. Обозначим длины сторон АВ и АD через х и у соответственно. Тогда АЕ2=х2+у2/4
Если АF=2АЕ, то АF2=4АЕ2, то есть х2/4+у2=4х2+у2,
откуда х2=0, что невозможно.

Задача 5. Числитель и знаменатель дроби – по-ложительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?

Решение:
Пусть дана дробь а/в ; где а >в, в>о. Увеличивая числитель дроби на 1, а знаменатель — на 10, получаем (а+1)/(в+10).
Проверим условие задачи, полагая а/в<(а+1)/(в+10).
Откуда (ав+10а-ав-в)/(в(в+10)).
Последнее неравенство равносильно неравенству
в(10а-в) (в+10)<0.
Учитывая, что в >0, а следовательно, в+10>0, полу-чаем 10а-в<0, т.е. 10а<в.
Значит, условию задачи соответствуют дроби, у ко-торых числитель и знаменатель находятся в соотношении 10а<в.
Например, дробь 1/11, из которой после указанных преобразований получаем дробь 2/21, причём 1/11<2/21.

Задача 1. Три мужа – Андрей, Иван и Степан по-шли со своими женами – Анной, Екатериной и Ольгой за покупками. Каждый платил за каждую вещь по стольку рублей, сколько он купил вещей. Андрей купил больше Анны на 23 вещи. Иван – больше Екатерины на 11 вещей, а Степан – меньше Ольги на 23 вещи. Определить, кто на ком женат, если каждый из мужей израсходовал 63-мя рублями больше своей жены.

Задача 2. Докажите, что если для натуральных чи-сел т и с справедливо равенство 2 т = с2+1,
то число т можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Задача 3. Упростить
(2+1) (22+1) (24 +1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1)

Задача 4. Существует ли выпуклый 2000-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?

Задача 5. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?

Задача 6. Дан остроугольный треугольник АВС. Окружность с центром на середине стороны ВС пересека-ет стороны АВ и АС в точках D и Е соответственно. Ока-залось, что АD= АЕ. Докажите, что треугольник АВС рав-нобедренный.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задание № 2.3

Задача 1. Три мужа – Андрей, Иван и Степан по-шли со своими женами – Анной, Екатериной и Ольгой за покупками. Каждый платил за каждую вещь по стольку рублей, сколько он купил вещей. Андрей ку-пил больше Анны на 23 вещи. Иван – больше Екатери-ны на 11 вещей, а Степан – меньше Ольги на 23 вещи. Определить, кто на ком женат, если каждый из мужей израсходовал 63-мя рублями больше своей жены.
Решение:

Если муж купил т вещей, а его жена — к вещей, то ими уплачено т2 и к2 рублей соответственно. Имеем со-отношение т2-к2=63, которому удовлетворяют ровно три пары натуральных чисел: (8;1), (12;9) и (32;31).
Из условия видно, что как число вещей, купленных Андреем, так и число вещей, купленных Ольгой, больше 23; эти числа, следовательно, равны 32 и 31 соответ-ственно. Так как ни Анна, купившая 32-23=9 вещей, ни Ольга не могут быть замужем за Степаном, купившим все-го 31-23=8 вещей, то его жена – Екатерина. Заметив еще, что Андрей женат не на Анне (поскольку 322-9263), полу-чим ответ.
Ответ: Андрей женат на Ольге, Иван – на Анне, Степан — на Екатерине.

Задача 2. Докажите, что если для натуральных чисел т и с справедливо равенство
2т =с2+1
то число т можно представить в виде суммы квадра-тов двух целых чисел.
Решение:
Поскольку 2т – четное число, то из равенства 1 следует, что с2, а следовательно, и с — нечетное число, т.е. с=2к-1,кеN; подставляя это выражение в равенство 1, получа-ем:
2т=(2к-1)2+1;
2т=4к2-4к+1+1;
2т=4к2-4к+2;
т=2к2-2к+1;
т=к2+к2-2к+1;
т=к2+(к-1)2.
Задача 3. Упростить:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)

Решение:
Умножим данное выражение на 1 в виде 2-1:
(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264-1)=
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264-1)=
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264-1)=
=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)(264-1)=
=(216-1)(216+1)(232+1)(264-1)=
=(232-1)(232+1)(264-1)=
=(264+1)(264-1)=
=2128-1

Задача 4. Существует ли выпуклый 2000-угольник, все углы которого выражаются целым чис-лом градусов?
Решение:
Сумма внешних углов любого многоугольника, взя-тых по одному при каждой вершине равна 360. Поэтому внешние углы 2000-угольника не могут быть выражены целым числом, а следовательно, не могут быть выражены целым числом и градусные меры внутренних углов.
Примечание: Аналогичные рассуждения можно провести, вычислив сумму внутренних углов: наиболь-шие, выраженные целым числом внутренние углы могут быть равны 179. Тогда их наибольшая «целая» сумма
179·2000=358000.
Но сумма углов выпуклого 2000-угольника равна
180·(2000-2)=359640.
Таким образом, выпуклый 2000-угольник должен иметь внутренние углы и большие 179.

Задача 5. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?
Решение:
Разобьем монеты на три кучки: А, Б и В, содержа-ние 10, 10 и 20 монет соответственно. Сравним массы А и Б. Могут иметь место два варианта:
1) Массы кучек А и Б равны. Это означает, что либо в каждой кучке по одной фальшивой монете, либо ни в одной из них фальшивых монет нет. Тогда сравним массы А+Б и В. Если масса А+Б меньше, то В – искомая кучка. Если масса А+Б больше, то ни в А, ни в Б нет фальшивых монет и искомая кучка – А+Б. Случай равенства, очевид-но, невозможен.
2) Масса кучки А больше массы кучки Б (противопо-ложный случай аналогичен). Тогда монеты в А заведомо настоящие, а в Б есть хоть одна фальшивая. Поэтому в кучке В не более одной фальшивой монеты. Теперь разо-бьем В на две половины: в той, которая тяжелее нет фальшивых монет; эта половина вместе с А является ис-комой кучкой.

Задача 6. Дан остроугольный треугольник АВС. Окружность с центром на середине стороны ВС пере-секает стороны АВ и АС в точках D и Е соответствен-но. Оказалось, что АD=АЕ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Решение:
Середина отрезка ВС – точка О – центр окружности. Так как треугольники АDЕ и ОDЕ равнобедренные, то АDЕ=АЕD, ОDЕ=ОЕD. Поэтому ОЕА =ОDА, ОЕС= ОDВ.
Из того, что треугольники ОСЕ и ОDВ равнобедрен-ные, следуют равенства ОСЕ =ОЕС=ОDВ=ОВD, т.е. С = В, и тогда АВ =АС, что и требовалось доказать.

Задание № 2.4

Задача 1. А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться.
Может ли циклически повторяющийся набор состо-ять из одной буквы? Если да, указать эту букву.

Задача 2. Найдите сумму коэффициентов много-члена (2 х3- х2+ х -3)1999• ( х2- 2х) 2000

Задача 3. Подряд написаны числа 1,2,3,4,5, …, 2000.Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

Задача 4. Решите уравнение

Задача 5. Квадратный трехчлен ах 2 +вх +с имеет корни. Верно ли, что трехчлен а 3 х 2 + в 3 х + с 3 также имеет корни?

Задача 6. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность в точках К и L. Отрезки АК и ВL пересекаются в точке Х и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Задача 7. Куб 1х1х1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задание № 2.4

Задача 1. А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться.

Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной буквы? Если да, указать эту букву.

Решение:

Вспомним порядок букв в русском алфавите

А	Б	В	Г	Д	Е	Ё	Ж	З	И	Й	К	Л	М	Н	О	П
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ъ	Ы	Ь	Э	Ю
18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33

Пусть а и в – цифры, с помощью которых записывается порядковый номер (10а+в) этой буквы. Цикл состоит из одной буквы, только если 2(а+в)=10а+в, откуда в=8а.Следовательно, или а=0, или а=1.

При а=0 получаем в=0. Буквы с таким порядковым номером нет. Если а=1, то в=8, а 18 – это номер буквы Р.

Задача 2. Найдите сумму коэффициентов многочлена (2х 3 -х 2 +х-3) 1999 •(х 2 -2х) 2000

Решение:

Сумма коэффициентов многочлена равна значению многочлена при х=1. Поэтому искомая сумма равна

(2·1 3 -1 2 +1-3) 1999 ·(1 2 -2·1) 2000=

=(2-1+1-3) 1999 ·(1-2) 2000 =(-1) 1999 ·(-1) 2000 = -1·1= -1.

Задача 3. Подряд написаны числа 1,2,3,4,5,…,2000. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

Решение:

После первого вычеркивания останется 1000 четных чисел: 2,4,6,8,10,12,…, 2000.

После второго – числа кратные 4. Таких чисел 500: 4,8,12, …, 2000.

После третьего – останутся числа, кратные 8. Таких 250.

После четвертого зачеркивания останется 125 чисел, кратных 16.

Пятое зачеркивание оставит числа последнего ряда, стоящие на нечетных местах, после чего останется 62 числа, кратных 32.

Шестое зачеркивание оставит 31 число, кратное 64.

Седьмое – 15 чисел, кратных 128.

Восьмое – 7 чисел, кратных 256.

Девятое – 3 числа, кратные 512.

Последним будет десятое зачеркивание, после которого останется число 1024.

Задача 4. Решите уравнение

Решение:

Прежде всего обратим внимание, что х>0.

Преобразовывая в этих условиях уравнение, получаем:

аналогично, преобразовывая последовательно, получаем:

Значит, уравнение не имеет решения.

Задача 5. Квадратный трехчлен ах 2 +вх+с имеет корни. Верно ли, что трехчлен а 3 х 2 +в 3 х+с 3 также имеет корни?

Решение:

Так как ах 2 +вх+с имеет корни, то в 2 ³4ас, откуда в 6 ³64а 3 с 3 . Если ас³0, то 64а 3 с 3 ³4а 3 с 3 , а если ас<0, то в 6 ³0>4а 3 с 3 . В обоих случаях в 6 ³4а 3 с 3 . Именно это и нужно, чтобы трехчлен а 3 х 2 +в 3 х+с 3 имел корни. Итак, ответ на вопрос задачи положительный.

Задача 6. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность в точках К и L. Отрезки АК и ВL пересекаются в точке Х и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный

Решение:

Из условия следует подобие треугольников АХВ и КХL. Отсюда L ВАК =L LКА, но L LКА=L АВL (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому L ВАК = L АВL, но, так как АК и ВL – биссектрисы, L А =L В.

Задача 7. Куб 1 х1 х 1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

Решение:

Ответ: необязательно. Приведем соответствующий пример. Квадратом площади 2 можно оклеить, как это показано на рис.1,а верхнюю грань куба и четверть каждой из смежных с ней граней. (Вершины квадрата располагаются в центрах этих четырех боковых граней).

Точно так же квадратом площади 2 можно оклеить нижнюю грань и четверть каждой из боковых. Каждую из четырех оставшихся областей можно оклеить квадратом площади 0,5 так, как показано на рис.1, б.