Рассмотрим частное трехзначного числа в записи которого нет нулей и произведения его цифр 113 27
Официальные решения и критерии оценивания занимательных задач ЕГЭ 2016
Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество <200;201;202;. 299>хорошим?
б) Является ли множество <2;4;8;. ;2^(100)>хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества <1;2;4;5;7;9;11>?
читать дальше
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа `a` и `b`, записанные на доске, заменяются на два числа: или `a+b` и `2a-1`, или `a+b` и `2b-1` (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
читать дальше
На доске написаны числа 1, 2, 3, . 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
читать дальше
Последовательность `a_1,` `a_2,` . `a_n` (`n >= 3`) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при `n = 10`?
читать дальше
В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
читать дальше
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно `113/27`.
б) Может ли это число равняться `125/27`?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
читать дальше
На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A`, среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B`. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.
читать дальше
Последовательность `a_1, a_2, . a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1`, `M_2 = 2`.
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6`.
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3`?
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3`.
читать дальше
Рассмотрим частное трехзначного числа в записи которого нет нулей и произведения его цифр 113 27
БАЗА ЗАДАНИЙ
Задание № 19. Задачи на логику.
53. На доске написаны числа 1, 2, 3, . 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Ответ: а) (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б) нет; в) 6
54. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100.
Ответ: а) да; б) нет; в) да
55. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) пример: 2529; б) нет; в) 8655 и все его перестановки
56. В последовательности a 1 , a 2 , . a n , n ≥ 3 , состоящей из натуральных чисел, причем каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырех членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из 6 членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n=10?
Ответ: а) пример: 1, 12, 17, 20; б) да; в) 70
57. В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть в ничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округленный до целого, «ничьи» — процент ничьих, округленных до целого и «поражение» — процент поражений, равный разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих».
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
Ответ: а) да; б) да; в) 51
58. Рассмотрим частное трехзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 113/27.
б) Может ли это частное равняться 125/27?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
Ответ: а) пример: 339; б) нет; в) 931/27
59. На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на 2 группы, в каждой их которых есть хотя-бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое во второй группе равно В.
а) Приведите пример разбиения исходный чисел на 2 группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше (А+В)/2.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на 2 группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно (А+В)/2.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения (А+В)/2.
Ответ: а) пример: в первой группе все пятерки, во второй все четверки и тройки; в) 4 14 /29
60. На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Ответ: а) да; б) да; в) 4
61. В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Ответ: а) да; б) нет; в) 25
62. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/25?
б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 1/35?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6/7
63. На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшится не менее, чем на 27?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?
Ответ: а) 39; б) да; в) 167
64. а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Ответ: а) да; б) нет; в) 110
65. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляют электронные письма девушкам. Каждый юноша отправляет или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Ответ: а) да; б) 17; в) 41
66. Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, . 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10
67. На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Ответ: а) нет; б) да; в) 6
68. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
Ответ: а) да; б) нет; в) любое целое число, кроме 1 и -1
69. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111?
Ответ: а) да; б) 39; в) 3 или 6
70. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Ответ: а) да; б) нет; в) 39
71. Последовательность цифр устроена следующим образом. Две первые цифры a и b заданы заранее и не равны нулю. Справа к ним приписываются цифры произведения ab. Затем справа приписываются цифры числа, полученного произведением последних двух цифр, и так далее. Например, если первые две цифры были a=6 и b=7, то получается последовательность
6, 7, 4, 2, 8, 1, 6,…
а) Приведите пример такой последовательности, в которой шесть первых членов отличны от нуля, а все члены начиная с седьмого равны нулю.
б) Докажите, что любая последовательность, построенная таким образом, с какого-то момента становится периодической (цифры начинают повторяться в одном и том же порядке).
Ответ: а) 1, 5, 5, 2, 5, 1, 0, 0, …
72. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли одиннадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых ровно два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2017?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Ответ: а) да, например, 5023, 5024, …, 5033; б) нет; в) 11.
73. Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий день. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
Ответ: а) да, б) нет, в) 14.
74. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть.
Ответ: а) да, б) нет, в) 35.
75. Последовательность натуральных чисел (a n ) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.
а) Может ли последовательность (an) содержать ровно 5 различных чисел?
б) Чему может равняться a1, если a100 =75?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (an)?
Ответ: а) да, б) 9777, в) 112.
76. Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, больше 1.
а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 18.
77. В ящике лежат 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 857
78. В течении n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n=6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Решу егэ 514744
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно
б) Может ли это частное равняться
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
а) Например, частное числа 339 и произведения его цифр равно
б) Пусть это частное равно Тогда число делится на 25, а его две последние цифры равны 2 и 5 или 7 и 5. Но произведение цифр числа должно делится на 27. Ни 2, ни 5, ни 7 не делятся на 3, а первая цифра не больше 9. Значит, частное не может равняться
в) Рассмотрим два случая:
1. Если произведение цифр числа больше 27. Тогда число и произведение его цифр имеют общий делитель, больший 1, а частное числа и произведения его цифр не превосходят
2. Если произведение цифр числа равняется 27. Тогда число состоит из единиц, троек и девяток. Наибольшее такое число с произведением цифр 27 равняется 931. Частное этого числа и произведения его цифр равняется
Значит − это наибольшее значение, которое может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27
Ответ: а) например, 339; б) нет; в)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно построен пример в п. а и обоснованно получены верные ответы в п. б и п. в | 4 |
| Обоснованно получен ответ в п. в и один из следующих результатов: |
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б
обоснованно получен верный ответ в п. в
обоснованно получен верный ответ в п. б
Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016
Версия для печати и копирования в MS Word
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в Екатеринбурге (Свердловске) в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура в Свердловске в 1973 году составляет 18 °C (см. рис.).
Каталог заданий
Назад в каталог
Вернуться к списку прототипов этой категории
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 3 № 514744 
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в Екатеринбурге (Свердловске) в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Аналоги к заданию № 27512: 509218 514885 28747 506374 506679 514744 514764 514788 514811 18871 Все
Сообщить об ошибке · Помощь
Пробный тренировочный вариант №26 в формате решу ОГЭ 2023 по математике 9 класс от 7 марта 2023 года с ответами и решением по новой демоверсии ОГЭ 2023 года для подготовки на 100 баллов, задания взяты из открытого банка заданий ФИПИ и с экзамена прошлых лет, данный вариант вы можете решить онлайн или скачать.
Скачать тренировочный вариант и ответы
Посмотреть другие тренировочные варианты
Коля летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Марьевке. Коля с дедушкой собираются съездить на велосипедах в село Сосновое на железнодорожную станцию. Из Марьевки в Сосновое можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь по шоссе – через деревню Николаевку до деревни Запрудье, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Сосновое.
Есть и третий маршрут: в Николаевке можно свернуть на прямую тропинку, которая идёт мимо озера прямо в Сосновое. По шоссе Коля с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке 15 км/ч. Расстояние по шоссе от Марьевки до Николаевки равно 12 км, от Марьевки до Запрудья – 20 км, а от Запрудья до Соснового 15 км.
1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.
Ответ: 1432
2. На сколько процентов скорость, с которой едут Коля с дедушкой по тропинке, меньше их скорости по шоссе?
Ответ: 25
3. Сколько минут затратят на дорогу Коля с дедушкой, если поедут на станцию через Запрудье?
Ответ: 105
4. Найдите расстояние от д. Николаевка до с. Сосновое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Ответ: 17
5. Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Коля с дедушкой, если поедут этим маршрутом.
Ответ: 100
6. Найдите значение выражения 4,4 − 1,7.
Ответ: 2,7
8. Найдите значение выражения (4��) 2 : �� 5 ∙ �� 3 при �� = 128.
Ответ: 16
9. Найдите корень уравнения (�� − 5) 2 = (�� − 
2 .
Ответ: 6, 5
10. В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки, из них 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.
Ответ: 0, 75
11. На рисунках изображены графики функций вида �� = ���� +��. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов �� и ��. В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ: 312
12. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ���� = 1,8���� +32, где ���� − температура в градусах Цельсия, ���� − температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 80 градусов по шкале Цельсия?
Ответ: 176
13. Укажите решение неравенства −3 − �� ≥ �� −6.
Ответ: 1
14. Курс воздушных ванн начинают с 10 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 20 минут?
Ответ: 8
15. Диагонали ���� и ���� параллелограмма �������� пересекаются в точке ��, ���� = 12, ���� = 20, ���� = 7. Найдите ����.
Ответ: 10
16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 32√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Ответ: 64
17. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.
Ответ: 6400
18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Ответ: 4
19. Какое из следующих утверждений верно?
1) Боковые стороны любой трапеции равны.
2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Ответ: 2
20. Решите уравнение ��(�� 2 + 2�� + 1) = 2(�� +1).
Ответ: -2; -1; 1
21. Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные – 22%. Сколько сухих фруктов получится из 78 кг свежих фруктов?
Ответ: 22
23. Точки �� и �� являются серединами сторон ���� и ���� треугольника ������ соответственно. Отрезки ���� и ���� пересекаются в точке ��, ���� = 27, ���� = 18. Найдите ����.
Ответ: 12
24. В трапеции �������� с основаниями ���� и ���� диагонали пересекаются в точке ��. Докажите, что площади треугольников ������ и ������ равны.
25. Боковые стороны ���� и ���� трапеции �������� равны соответственно 40 и 41, а основание ���� равно 16. Биссектриса угла ������ проходит через середину стороны ����. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 820
Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
ЕГЭ 2023. Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 29 заданий. Часть 1 содержит 22 задания с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом. На выполнение экзаменационной работы по биологии отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
В конце варианта приведены правильные ответы ко всем заданиям. Вы можете свериться с ними и найти у себя ошибки. Ответами к заданиям 1–22 являются последовательность цифр, число или слово (словосочетание). Ответы запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номеров соответствующих заданий, начиная с первой клеточки, без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Скачать тренировочный вариант ЕГЭ: Скачать
Скачать ответы на тренировочный вариант ЕГЭ: Скачать
Задания:
1. Рассмотрите таблицу «Методы биологических исследований» и заполните ячейку, вписав соответствующий термин. Применяется для выявления геномных мутаций.
2. Исследователь добавлял в стакан коровьего молока желудочный сок собаки. Как спустя час в стакане изменится содержание дисахарида лактозы и животных жиров? Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась
3. Площадь земель, покрытых лесом, в России составляет примерно 1200 млн га. Известно, что 12 га леса связывают 18 тонн диоксида углерода в год. Сколько млн тонн углекислого газа может быть связано за год за счет российских лесов?
4. Определите вероятность (в %) гибели от анемии ребенка, родившегося в браке гомозиготных по рецессивному аллелю родителей, если эта форма анемии наследуется как аутосомный доминантный признак. В ответ запишите только соответствующее число.
5. Каким номером на рисунке обозначена структура, образующая спираль в сперматозоидах млекопитающих?
6. Установите соответствие между характеристиками и структурами, обозначенными на рисунке цифрами 1, 2, 3, 4: к каждой позиции, данной в первом столбце, подберите соответствующую позицию из второго столбца.
7. Выберите три признака, которые соответствуют описаниям селекции. Запишите в таблицу цифры, под которыми они указаны.
1) выведение новых штаммов микроорганизмов
2) получение новых семейств растений
3) получение генномодифицированных растений
4) выведение тритикале при скрещивании пшеницы и ржи
5) получение рекомбинантной плазмиды
6) выведение пород животных и сортов растений
8. Установите последовательность этапов ферментативного катализа. Запишите в таблицу соответствующую последовательность цифр.
1) образование нестабильного комплекса фермент-продукт
2) сближение фермента и субстрата
3) начало распада комплекса фермент-продукт
4) формирование фермент-субстратного комплекса
5) высвобождение продукта и фермента
9. Какой цифрой на рисунке обозначена вторичная полость тела?
10. Установите соответствие между характеристиками и структурами тела дождевого червя, обозначенными на рисунке выше цифрами 1, 2, 3: к каждой позиции, данной в первом столбце, подберите соответствующую позицию из второго столбца.
11. Выберите три верных ответа из шести и запишите в таблицу цифры, под которыми они указаны. Для растения, изображенного на рисунке, характерно:
1) гаметофит обоеполый — содержит архегонии и антеридии
2) дихотомическое ветвление
3) заросток сердцевидной формы
4) споры созревают в сорусах
5) споры образуются в спороносных колосках
6) гаметофит формирует вайи
12. Установите последовательность систематических групп, начиная с самого низкого ранга. Запишите в таблицу соответствующую последовательность цифр.
1) Эукариоты
2) Членистоногие
3) Ежемухи
4) Ежемуха свирепая
5) Двукрылые
6) Животные
13. Какой цифрой на рисунке указан тип научения, который изучал К. Лоренц?
14. Установите соответствие между характеристиками и типами научения, обозначенными на рисунке выше цифрами 1, 2, 3: к каждой позиции, данной в первом столбце, подберите соответствующую позицию из второго столбца.
15. Выберите три верно обозначенные подписи к рисунку «Строение уха». Запишите цифры, под которыми они указаны.
1) серная (церуминозная) железа
2) наружный слуховой проход
3) слуховая косточка
4) овальное окно
5) преддверно-улитковый нерв
6) улитка
16. Установите последовательность событий, происходящих при свертывании крови. Запишите в таблицу соответствующую последовательность цифр.
1) разрушение тромбоцитов у места повреждения
2) превращение протромбина в тромбин
3) уплотнение рыхлой пробки тромбоцитов фибриновыми нитями
4) превращение фибриногена в фибрин
5) выделение тромбопластина
6) образование тромба
17. Прочитайте текст. Выберите три предложения, в которых даны описания географического видообразования. Запишите цифры, под которыми они указаны. (1)Видообразование происходит в результате расширения ареала исходного вида или при попадании популяции в новые условия. (2)Такое видообразование называют аллопатрическим. (3)Примером видообразования служит формирование двух подвидов погремка большого на одном лугу. (4)Естественный отбор способствовал формированию двух рас севанской форели, нерестящихся в разное время. (5)Репродуктивная изоляция особей не является обязательным условием видообразования. (6)Результатом изоляции является формирование эндемичных островных видов животных.
18. Выберите три верных ответа из шести и запишите в таблицу цифры, под которыми они указаны. Примеры антропогенных факторов воздействия:
1) разрушение озонового слоя под действием фреонов
2) гибель сусликов из-за пандемии
3) нарушение режима рек под влиянием деятельности бобров
4) разрыхление почв дождевыми червями
5) эвтрофикация водоемов из-за смыва удобрений
6) металлизация атмосферы
19. Установите соответствие между типами взаимоотношений и организмами, между которыми они устанавливаются: к каждой позиции, данной в первом столбце, подберите соответствующую позицию из второго столбца.
20. Установите последовательность этапов эволюции животных, начиная с самых древних представителей. Запишите соответствующую последовательность цифр.
1) стегоцефал
2) зверозубый ящер
3) тушканчик
4) сеймурия
5) кистеперая рыба
21. Проанализируйте таблицу «Роль прокариотов в экосистемах». Заполните пустые ячейки таблицы, используя элементы, приведённые в списке. Для каждой ячейки, обозначенной буквой, выберите соответствующий элемент из предложенного списка. Список элементов:
1) Редуценты
2) Бактерии-хемосинтетики
3) Продуценты
4) Гетеротрофы
5) Бактерии-фотосинтетики
6) Денитрифицирующие
7) Автотрофы
Консументы
22. Проанализируйте диаграмму, отражающую содержание холестерола ЛПНП (липопротеинов низкой плотности) в плазме крови обследованных в лаборатории людей. Выберите все утверждения, которые можно сформулировать на основании анализа представленных данных. Запишите в ответе цифры, под которыми указаны выбранные утверждения.
1) Пятеро из обследованных людей имеют значение содержания холестерола-ЛПНП в интервале от 200 до 249 мг/дл.
2) Более 60% пациентов имеют чрезвычайно высокий риск развития атеросклероза.
3) Значение содержания холестерола-ЛПНП более 300 мг/дл смертельно.
4) Более 50% обследованных людей имеют от 75 до 149 мг/дл холестеролЛПНП в плазме крови.
5) В плазме крови 4% людей содержание холестерола-ЛПНП находится в пределах от 50 до 74 мг/дл.
23. Какая переменная в этом эксперименте будет зависимой (изменяющейся), а какая — независимой (задаваемой)? Объясните, как в данном эксперименте можно поставить отрицательный контроль. С какой целью необходимо такой контроль ставить? * Отрицательный контроль – это экспериментальный контроль, при котором изучаемый объект не подвергается экспериментальному воздействию при сохранении всех остальных условий.
24. Предположите, почему для обработки кукурузных полей используют 2,4- Д. Каким веществом по результату действия на двудольные растения является 2,4-дихлорфеноксиуксусная кислота?
25. Рассмотрите рисунок. Какие пары комплементарных азотистых оснований ДНК отмечены буквами А и Б? При содержании большего количества каких пар азотистых оснований молекула ДНК будет медленнее подвергаться денатурации при воздействии повышенной температуры? Ответ поясните.
26. Некоторые виды лишайников являются трехкомпонентными, то есть включают клетки трех видов организмов: гриба, зеленой водоросли и цианобактерии. Какие функции могут выполнять цианобактерии в составе такого лишайника? Назовите не менее двух. Какие преимущества имеет гриб в составе трехкомпонентного лишайника по сравнению с двухкомпонентным?
27. У животных существует несколько типов брачных отношений, например, моногамия – образование стойких супружеских пар, полигамия – спаривание особи одного пола со множеством партнеров противоположного пола. Большинство видов гнездовых птиц практикуют моногамные отношения, а большинство видов млекопитающих — полигамные. Объясните, почему для гнездовых птиц стратегия моногамного поведения наиболее выгодна. По каким причинам птицы, как правило, не могут практиковать полигамию, как это делают млекопитающие? Ответ поясните.
28. Какой хромосомный набор (n) характерен для клеток мегаспорангия и мегаспоры цветкового растения? Объясните, из каких исходных клеток и в результате какого деления образуются клетки мегаспорангия и мегаспора.
29. Существует два вида наследственной слепоты, каждый из которых определяется рецессивными аллелями генов (а или b). Оба аллеля находятся в различных парах гомологичных хромосом. Какова вероятность рождения слепой внучки в семье, в которой бабушки по материнской и отцовской линиям хорошо видят (не имеют рецессивных генов), а оба дедушки дигомозиготны и страдают различными видами слепоты? Составьте схему решения задачи. Определите генотипы и фенотипы бабушек и дедушек, их детей и возможных внуков.
Вам будет интересно:
ЕГЭ по биологии 11 класс 2023. Новый тренировочный вариант №6 — №221121 (задания и ответы)
* Олимпиады и конкурсы
* Готовые контрольные работы
* Работы СтатГрад
* Официальные ВПР
Путеводитель по задачам №18 (С7)
2.1. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Решение Ответ: а) нет; б) 582; в) 81.
2.2. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 4, B = 5.
a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300.
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.
Ответ: а) нет; б) 291; в) 390.
3.1. (ЕГЭ 2023) На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A=B•C, если A>140
б) Может ли быть верным уравнение A=B•C, если 440$\leq $A<500.
в) Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A=B•C.
3.2. (ЕГЭ 2023) Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.
а) Может ли быть верно равенство A=B•C, если A>130.
б) Может ли быть верно равенство A=B•C, если 540<A$\leq$ 600.
в) Какое максимальное A соответствует условию A=B•C.
Ответ: а) да; б) нет; в) 910.
4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.
а) Можно ли получить из числа $128$ число $29$?
б) Можно ли получить из числа $128$ число $31$?
в) Какое наименьшее число можно было получить из числа $128$?
Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 2.
4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.
a) Могло ли из числа $65$ получиться число $41$?
б) Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?
в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?
Ответ: а) да; б) нет; в) $11.$
5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.
а) Может ли получившееся частное быть равным $5$?
6) Может ли получившееся частное быть равным $1$?
в) Какое наименьшее значение может принимать это частное?
5.2. (ЕГЭ 2016) Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно $\frac<113><27>.$
б) Может ли это частное равняться $\frac<125><27>$?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем $27$?
Ответ: а) $339$; б) нет; в) $\frac<931><27>.$
6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1 = b_1$ и $S_n= b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$
а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно два числа делятся на $60$?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно три числа делятся на $60?$
в) Какое наибольшее количество чисел среди $S_1, S_2, S_3, …, S_<12>$ может делиться на $60,$ если известно, что $S_1$ на $60$ не делится?
Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $6.$
6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1 = b_1$ и $S_n= b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$
а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно два числа делятся на $40$?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно три числа делятся на $40$?
в) Какое наибольшее количество чисел среди $S_1, S_2, S_3, …, S_<8>$ может делиться на $40,$ если известно, что $S_1$ на $40$ не делится?
Ответ: а) да; б) нет; в) $4.$
7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?
б) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?
Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $9.$
7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $32$ см на части по $1$ см?
б) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $50$ см на части по $1$ см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $200$ см на части по $1$ см?
Ответ: а) да; б) нет; в) $8.$
8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) У Пети есть монеты номиналом $1, 2, 5$ и $10$ рублей. Каждого вида монет у него по $100$ штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит.
а) Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $100$ рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $25$ рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более $100$ рублей?
Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $13.$
-10 . (Реальный ЕГЭ, 2021) Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.
а) Может ли выполняться равенство $A\cdot S=28000$?
б) Может ли выполняться равенство $A\cdot S=2971$?
в) Найдите наибольшее произведение $A\cdot S<5997.$
Ответ: a) нет; б) нет; в) $5992.$ Решение
-9. (Реальный ЕГЭ, 2021) Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?
в) Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?
Ответ: а) да; б) нет; в) $97.$ Решение
-8. (Реальный ЕГЭ, 2019) Дана последовательность $a_n$ из $100$ натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на $98$ меньше.
а) Может ли последовательность состоять из $5$ чисел?
б) Какое может быть $a_1$, если $a_<100>=75$?
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности.
Ответ: а) да; б) $9777$; в) $112.$ Решение
-7. (Реальный ЕГЭ, 2019) Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Ответ: а) да; б) нет; в) $35.$ Решение
-6. (Реальный ЕГЭ, 2018) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться $1$?
в) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Ответ: а) нет; б) нет; в) $3.$ Решение
-5. (Досрочный ЕГЭ, резервный, 2018) На доске написано $n$ чисел $a_i$ ($i = 1, 2, …, n$). Каждое из них не меньше $50$ и не больше $150$. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_i$%. При этом либо $r_i = 2$%, либо число $a_i$ уменьшается на $2$, то есть становится равным $a_i – 2$. (Какие-то числа уменьшились на число $2$, а какие-то — на $2$ процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ быть равным $5$?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ больше $2$, при этом сумма чисел $a_1, a_2 … a_n$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть всего чисел $30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на $40$. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_1, r_2, …, r_n$. Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac<8><3>.$ Решение
-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что
б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что
в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac
Ответ: а) $95$ и $67$; б) нет; в) $24.$ Решение
-3. (Резервный ЕГЭ, 2017) Последовательность $a_1,a_2,…,a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1=7,M_2=6.$
а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=6,4.$
б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=5$?
в) Найдите наименьшее возможное значение $M_3.$
Ответ: а) $1;6;4;9;9;7$; б) нет; в) $5,2.$ Решение
-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $1923$ получается число $110911253$).
а) Приведите пример числа, из которого получается $2108124117$.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $374944128$?
в) Какое наибольшее число, кратное $11$, может получиться из трехзначного числа?
Ответ: а) $2847$; б) нет; в) $9167169.$ Решение
-1. (ЕГЭ, 2017) На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$, или на цифру $6$. Сумма написанных чисел равна $2454$.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на $6$?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, может быть записано на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) $11.$ Решение
0. ( Досрочн. , 2017) На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $40$ и меньше $100$.
а) Может ли на доске быть $5$ чисел?
б) Может ли на доске быть $6$ чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Ответ: а) да; б) нет; в) $35.$ Решение
1. (ЕГЭ, 2015) Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Ответ: а) да; б) да; в) 15. Решение
2. (ЕГЭ ДЕМО, 2015) На доске написано более 40, но меее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно -8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44; б) отрицательных больше; в) 17. Решение
3. (ЕГЭ резервн. , 2016) На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\frac
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее
арифметическое всех чисел будет равно $\frac
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac
Ответ: а) все пятерки в одной группе, остальные числа – в другой; в) $4\frac<14><29>.$ Решение
4. (ЕГЭ , 2016) На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Ответ: а) $(1;10;23)$, $(2;9;22),$ $(3;8;21),$ $(4;7;20)$, $(5;6;19).$ б) нет; в) $6$. Решение
5 . (Т/Р МИОО , 2016) Возрастающие арифметические прогрессии $a_1,a_2,…,a_n,…$ и $b_1,b_2,…,b_n,…$ состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогресcии, для которых $\frac
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac
6. ( Досрочн. , 2016) Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество <$200;201;202;…;299$>хорошим?
б) Является ли множество <$2;4;8;…;2^<100>$> хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества
Ответ: а) да; б) нет; в) $8$. Решение
7. (Т/Р Ларина) Рассматриваются дроби вида $\frac
а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac
б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac
в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac
Ответ: а) да; б) нет; в) $11$. Решение
8. (Т/Р Ларина) Решите в целых числах уравнение
Ответ: а) $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)$; б) решений нет; в) $(n;n), (5n;2n), n\in Z.$ Решение
9. (Т/Р Ларина) Многозначное число 123456789101112…9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.
а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?
б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?
в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?
Ответ: а) 5; б) 2893; в) 8. Решение
10. (Т/Р Ларина) На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов. Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$ Решение
11. (Т/Р Ларина) Целые числа $x,y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.
а) Могут ли числа $x+3$, $y^2$ и $z+5$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?
б) Могут ли числа $5x$, $y$ и $3z$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?
в) Найдите все $x,y$ и $z$, при которых числа $5x+3,y^2$ и $3z+5$ будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию. Ответ: а) да; б) нет; в) $2;6;18$ или $2;-6;18.$ Решение
12. (Т/Р Ларина) Имеется пять палочек с длинами $2, 3, 4, 5, 6$.
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?
б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?
в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя). Ответ: а) да; б) нет; в) $4\sqrt5.$ Решение
13. (Т/Р Ларина) Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на $12$, и сумма его цифр делится на $12$.
А) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
В) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?
Ответ: а) да; б) $10056$; в) $99972$; г) $4$; $12$. Решение
14. (Т/Р Ларина) а) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?
б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?
в) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.
Ответ: а) да; б) да; в) $19$. Решение
15. (Т/Р Ларина) Дан клетчатый квадрат размером 6х6.
а) Можно ли этот квадрат разрезать на десять попарно различных клетчатых многоугольников?
б) Можно ли этот квадрат разрезать на одиннадцать попарно различных клетчатых многоугольников?
в) На какое наибольшее число попарно различных клетчатых прямоугольников можно разрезать этот квадрат? Ответ: а) да; б) нет; в) 8. Решение
16. (Т/Р Ларина) a) Найти натуральное число $n$ такое, чтобы сумма $1+2+3+…+n$ равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.
б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна $1$, а сумма кубов этих чисел равна $0,1$. Найти эти числа.
17. (Т/Р, 2017) Конечная возрастающая последовательность [latexpage]$a_1;a_2;…;a_n$ состоит из $n\geq 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k\leq n-2$ выполнено равенство $4a_
а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n\geq 3$ выполняться равенство $a_
в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$, если $a_n = 527$?
Ответ: a) $1;65;113;149;176;$ б) нет; в) $2.$ Решение
18. (Т/Р Ларина) Заданы числа: $1,2,3. 100$. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы
a) в каждой группе сумма чисел делилась на $3$.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на $10$.
в) сумма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась на умма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась на $304$?
Ответ: а) нет; б) да; в) нет. Решение
19. (Т/Р Ларина) Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: $(1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)…$
а) Найти сумму чисел в десятой группе;
б) Найти сумму чисел в сотой группе;
в) Определить среди первых ста групп количество групп, в которых сумма чисел делится на $3$.
Ответ: a) $1000;$ б) $1000000;$ в) $33.$ Решение
20. (Т/Р Ларина) Пусть $S_n$ – сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии <$a_n$>.
Известно,что $S_
а) Укажите формулу $n$‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
в) Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа.
Ответ: a) $4n-27;$ б) $12;$ в) $25.$ Решение
21. (Т/Р Ларина) Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших – по $200$ руб. за штуку, средних – по $150$ руб. за штуку и маленьких – по $100$ руб. за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на $2$.
a) Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на $5000$ рублей?
б) Сможет ли Василий при таких условиях купить $14$ больших раков?
в) Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?
Ответ: а) да; б) нет; в) $34.$ Решение
22. (Т/Р Ларина) а) Найдите значение выражения $tg1^<\circ>\cdot tg2^<\circ>\cdot tg3^<\circ>\cdot …\cdot tg88^<\circ>\cdot tg89^<\circ>.$
в) Найдите значение выражения $(1+tg1^<\circ>)\cdot (1+tg2^<\circ>)\cdot …\cdot (1+tg44^<\circ>)$.
23. (Т/Р Ларина) На доске записаны $20$ чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$.
а) Может ли среднее арифметическое всех $20$ чисел оказаться равным $\frac
б) Может ли среднее арифметическое всех $20$ чисел оказаться меньше, чем $\frac
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения $\frac
24. (Т/Р Ларина) Дано двузначное натуральное число.
а) Оказалось, что частное этого числа и суммы его цифр, равно $7$. Найдите все такие числа.
б) Какие натуральные значения может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
в) Какое наименьшее значение может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) $21;42;63;84;$ б) $2;3;4;5;6;7;8;9;10;$ в) $1,9.$ Решение
25. (Т/Р Ларина) Четырехзначное число $A$ содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число $B$ записано теми же цифрами, но в обратном порядке.
а) Найдите наибольшее значение выражения $A-B$.
б) Найдите наименьшее значение выражения $A-B$.
в) Найдите числа $A$ и $B$, для которых значение выражения $\frac$ будет наименьшим.
Ответ: а) $8532;$ б) $279;$ в) $8197, 7918.$ Решение
26. (Т/Р Ларина) Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию ($n>3$).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $14$?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $900$?
в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $123$.
Ответ: а) да; б) $41$; в) $6.$ Решение
27. (Т/Р Ларина) Натуральные числа от $1$ до $12$ разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные $6$ чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) $4.$ Решение
28. (Т/Р Ларина) На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $1485$. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $23$ заменили на число $32$).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $9$ раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) $92;92;…;92;13$ ($92$ – $16$ раз); б) нет; в) $396.$ Решение
29. (Т/Р Ларина) Даны $n$ ( $n\geq 3$ ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел равняться $22$?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться $23$?
в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $48$.
Ответ: а) да; б) нет; в) $3;4;6.$ Решение
30. (Т/Р Ларина) Пусть $S(N)$ – сумма цифр натурального числа $N$.
а) Может ли $N+S(N)$ равняться $96$?
б) Может ли $N+S(N)$ равняться $97$?
в) Найдите все $N$, для которых $N+S(N) = 2017.$
Ответ: a) да; б) нет; в) $1994;2012.$ Решение
31. (Т/Р Ларина) Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову $5$ минут.
а) Смогут ли два кузнеца за полчаса подковать трёх лошадей?
б) Смогут ли четыре кузнеца за $15$ минут подковать трёх лошадей?
в) За какое наименьшее время $48$ кузнецов смогут подковать $60$ лошадей?
(Известно, что лошадь не может стоять на двух ногах, поэтому два кузнеца не могут одновременно работать с одной лошадью).
Ответ: а) да; б) нет; в) $25.$ Решение
32. (Т/Р Ларина) а) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4$ – целые числа?
б) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере $n\geq 2$ могут выполняться равенства
$a_1+a_2+…+a_n=a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n=2018,$ где $a_1,a_2,…,a_n$ – целые числа?
Ответ: а) нет; б) нет; в) $5.$ Решение
33. (Т/Р Ларина) Дано трехзначное натуральное число, не кратное $100.$
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $89$?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $86$?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да; б) нет; в) $91.$ Решение
34. (Т/Р Ларина)
а) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $1,2,3$?
б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $2,3,6$?
в) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться $1970$?