Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

2. Конспект для ученика по теме «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед»

Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки по теме: «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед».

Примеры с решением

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его объем.

Напомним, прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник, и боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

Нам важны три измерения этого параллелепипеда. Так как в основании лежит квадрат,

то его стороны обозначим через , третье измерение параллелепипеда обозначим через (см. рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед и его измерения.

Объем любого прямоугольного параллелепипеда – это произведение трех его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объем был максимальным (смотрим прямоугольный параллелепипед формулы), то есть

Между и есть связь. Сказано, что

Мы бы могли решить эту задачу, если бы функция

зависела от одной переменной, а она зависит от двух переменных и . Одну из них можно выразить через связь

Подставим полученное выражение в функцию:

Теперь задачу можно свести к типовой задаче: найти на отрезке .

1) Найдем производную

Достаточно сравнить значение функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые попадают на данный отрезок. Продемонстрируем, что точка — точка максимума. Для этого проанализируем знак производной (см. рис.2).

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной.

Найдем значение функции в точках:

Если , тогда

Итак, мы искали такой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, и периметр боковой грани равен 6. Нужно было среди всех таких параллелепипедов найти тот параллелепипед, который имеет наибольший объем. Мы свели задачу к алгебраической, то есть к задаче по нахождению наибольшего значения функции на заданном отрезке.

Получили ответ: параллелепипед имеет измерения . А наибольший объем .

Примеры для самостоятельного решения

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен , а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить этот периметр.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед и его боковые грани и измерения.

Закрытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?

Периметр осевого сечения цилиндра равен p см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем бы наибольшим?

Домашнее задание

1. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м 3 . При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Что такое параллелепипед: определение, элементы, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, элементы, виды и основные свойства параллелепипеда, в т.ч. прямоугольного. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

• Определение параллелепипеда
• Виды параллелепипедов
• Свойства параллелепипеда

Определение параллелепипеда

Параллелепипед – это геометрическая фигура в пространстве; шестигранник, гранями которого являются параллелограммы. Фигура имеет 12 ребер и 6 граней.

Параллелепипед – это разновидность призмы с параллелограммом в качестве оснований. Основные элементы фигуры те же, что и у призмы.

Примечание: Формулы для расчета площади поверхности (для прямоугольной фигуры) и объема параллелепипеда представлены в отдельных публикациях.

Виды параллелепипедов

1. Прямой параллелепипед – боковые грани фигуры перпендикулярны ее основаниям и являются прямоугольниками.
2. Прямой параллелепипед может быть прямоугольным – основаниями являются прямоугольники.
3. Наклонный параллелепипед – боковые грани не перпендикулярны основаниям. – все грани фигуры являются равными квадратами.
4. Если все грани параллелепипеда – это одинаковые ромбы, он называется ромбоэдром.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами.

2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

3. Квадрат диагонали (d) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины (a), ширины (b) и высоты (c).

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Примечание: к параллелепипеду, также, применимы свойства призмы.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 12 см. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.

Скажи сначало тест а то так не понятно

Угол AON=углуNOB=1/2 AOB=45
уголKON=углуNOP=1/2 AON=22,5
уголKOP=уголKON+уголNOP=22,5+22,5=45

В Краснодарском крае известно 206 основных месторождений нерудных и рудных полезных ископаемых. Среди них выделяются месторождения: а) цветных камней; б) ртути; в) горнотехнического, агрохимического сырья и минеральных солей (формовочные материалы, карбонаты для химической промышленности, йод, гипс и ангидрит); г) строительных материалов (цементное сырье, строительные камни, песчано-гравийные материалы, керамзитовое сырье, строительные и облицовочные камни, морская ракушка).
Промышленность строительных материалов в Краснодарском крае производит: а) вяжущие вещества, включая цемент, строительную известь и гипс; б) строительную керамику; в) санитарную керамику; г) искусственные каменные материалы и изделия; д) стекло и стеклоизделия. Кроме того, осуществляется обработка природных каменных материалов и естественных облицовочных материалов. Из отраслей пищевой промышленности в пределах Краснодарского края нерудное минеральное сырье используют сахарные заводы. Химическая промышленность ориентирована в основном на производство кальцинированной соды по аммиачно-хлоридному методу. При этом используется поваренная соль и известняк.

S=(a+b/2)×h
S= (21+17/2)×7

Упр.965 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.

Решение

Обозначим через x сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно (6 — 2x) = 3 — x . Если V(x) – объём параллелепипеда, то
V(x) = x 2 (3 — x),
значит, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(x) = x 2 (3 — x) на интервале (0;3) .

Найдем критические точки функции V(x) = x 2 (3 — x) на интервале (0;3) . Для этого решим уравнение
V’(x) = (3x 2 — x 3 )‘ = 6x — 3x 2 = 3x(2 — x) = 0.
Интервалу (0;3) принадлежит единственный корень этого уравнения x = 2 . На этом интервале при x < 2 производная функции V(x) положительна, а при x > 2 – отрицательна, поэтому на промежутке (0;2) функция V(x) возрастает, а на промежутке (2;3) – убывает. Значит, x = 2 – точка максимума функции. Следовательно, V(2) = 4 – наибольшее значение объёма параллелепипеда.

Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(x) = x 2 (3 — x) = 4· x· x· (3 — x)

4· ( ) 3 = 4,
причём равенство достигается, если x = 3 — x , т.е. при x = 2 . Следовательно, наибольшее значение объёма параллелепипеда равно 4.

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной в задачах на экстремум и при исследовании тригонометрических функций.

1. Задача 1 на прямоугольный параллелепипед

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды, ос­но­ва­ния ко­то­рых квад­ра­ты, а каж­дая из бо­ко­вых гра­ней имеет пе­ри­метр . Найти среди них па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­боль­шим объ­е­мом и вы­чис­лить его объем.

Нам важны три из­ме­ре­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Так как в ос­но­ва­нии лежит квад­рат, то его сто­ро­ны обо­зна­чим через , тре­тье из­ме­ре­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да обо­зна­чим через (см. рис. 1).

Объем лю­бо­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да – это про­из­ве­де­ние трех его из­ме­ре­ний. Надо найти такой па­рал­ле­ле­пи­пед, чтобы его объем был мак­си­маль­ным (смот­рим пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед фор­му­лы), то есть

. Между и есть связь. Ска­за­но, что или . За­ме­тим, что ,

.

Мы бы могли ре­шить эту за­да­чу, если бы функ­ция за­ви­се­ла от одной пе­ре­мен­ной, а она за­ви­сит от двух пе­ре­мен­ных и . Одну из них можно вы­ра­зить через связь . От­сю­да . Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в функ­цию: . Те­перь за­да­чу можно све­сти к ти­по­вой за­да­че: найти на от­рез­ке .

1) Най­дем про­из­вод­ную

– кри­ти­че­ские точки.

До­ста­точ­но срав­нить зна­че­ние функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в тех кри­ти­че­ских точ­ках, ко­то­рые по­па­да­ют на дан­ный от­ре­зок. Про­де­мон­стри­ру­ем, что точка — точка мак­си­му­ма. Для этого про­ана­ли­зи­ру­ем знак про­из­вод­ной (см. рис.2).

Най­дем зна­че­ние функ­ции в точ­ках:

Если , тогда . Най­дем объем .

Итак, мы ис­ка­ли такой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат, и пе­ри­метр бо­ко­вой грани равен 6. Нужно было среди всех таких па­рал­ле­ле­пи­пе­дов найти тот па­рал­ле­ле­пи­пед, ко­то­рый имеет наи­боль­ший объем. Мы свели за­да­чу к ал­геб­ра­и­че­ской, то есть к за­да­че по на­хож­де­нию наи­боль­ше­го зна­че­ния функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке. По­лу­чи­ли ответ: па­рал­ле­ле­пи­пед имеет из­ме­ре­ния . А наи­боль­ший объем .

2. Задача 2 на прямоугольный параллелепипед

Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды, объем каж­до­го из ко­то­рых равен , а ос­но­ва­ни­я­ми яв­ля­ют­ся квад­ра­ты. Найти среди них па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­мень­шим пе­ри­мет­ром бо­ко­вой грани и вы­чис­лить этот пе­ри­метр.

Так как в ос­но­ва­нии па­рал­ле­ле­пи­пе­да – квад­рат, то одна его сто­ро­на равна и вто­рая – , бо­ко­вое ребро – (см. рис.3). Из­вест­но, что объем этих па­рал­ле­ле­пи­пе­дов —. Надо найти па­рал­ле­ле­пи­пед с наи­мень­шим пе­ри­мет­ром бо­ко­вой грани. Пе­ри­метр бо­ко­вой грани равен . Этот пе­ри­метр дол­жен быть наи­мень­шим: . Итак, нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать дан­ную функ­цию, ко­то­рая за­ви­сит от двух пе­ре­мен­ных и . Эти пе­ре­мен­ные свя­за­ны гео­мет­ри­че­ской за­ви­си­мо­стью . Вы­ра­зим , тогда .

Най­дем про­из­вод­ную .

, от­сю­да и — кри­ти­че­ские точки.

Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной и по­смот­рим яв­ля­ет­ся ли точка точ­кой ми­ни­му­ма (см. рис.4).

Таким об­ра­зом, точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма. На­пом­ним, мы долж­ны найти такую точку, при ко­то­рой пе­ри­метр будет наи­мень­шим. Вы­яс­ни­ли, что на всем про­ме­жут­ке зна­че­ние функ­ции в точке яв­ля­ет­ся наи­мень­шим, так как на про­ме­жут­ке функ­ция убы­ва­ет, а на про­ме­жут­ке – воз­рас­та­ет. Точка экс­тре­му­ма на про­ме­жут­ке — един­ствен­ная.

Най­дем . И, на­ко­нец, най­дем .

Итак, тре­бо­ва­лось найти такой па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го наи­мень­ший пе­ри­метр бо­ко­вой грани и вы­чис­лить этот пе­ри­метр. Па­рал­ле­ле­пи­пед нашли, он имеет из­ме­ре­ния . Наи­мень­шее зна­че­ние пе­ри­мет­ра бо­ко­вой грани равно .

3. Итог урока "Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед, формулы"

Итак, мы рас­смот­ре­ли сте­рео­мет­ри­че­ские за­да­чи на экс­тре­мум, ко­то­рые ре­ша­ют­ся с по­мо­щью про­из­вод­ной. Ре­ши­ли две вза­им­но об­рат­ные за­да­чи на пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед с ис­поль­зо­ва­ни­ем фор­мул и бо­ко­вых сто­рон па­рал­ле­ле­пи­пе­да. В пер­вой за­да­че нужно было найти мак­си­маль­ное зна­че­ние объ­е­ма, а во вто­рой – наи­мень­шее зна­че­ние пе­ри­мет­ра в пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де. Эти за­да­чи, как и в пла­ни­мет­рии, ре­ша­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: со­став­ля­ет­ся нуж­ная функ­ция, она ока­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей двух пе­ре­мен­ных, вы­пи­сы­ва­ют­ся гео­мет­ри­че­ские связи, они поз­во­ля­ют вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через дру­гую и по­лу­чить функ­цию толь­ко от одной пе­ре­мен­ной. Даль­ше при­ме­няя про­из­вод­ную, можно успеш­но ре­шить за­да­чу.

2. Конспект для ученика по теме «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед»

Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки по теме: «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед».

Примеры с решением

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его объем.

Напомним, прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник, и боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

Нам важны три измерения этого параллелепипеда. Так как в основании лежит квадрат,

то его стороны обозначим через , третье измерение параллелепипеда обозначим через (см. рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед и его измерения.

Объем любого прямоугольного параллелепипеда – это произведение трех его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объем был максимальным (смотрим прямоугольный параллелепипед формулы), то есть

Между и есть связь. Сказано, что

Мы бы могли решить эту задачу, если бы функция

зависела от одной переменной, а она зависит от двух переменных и . Одну из них можно выразить через связь

Подставим полученное выражение в функцию:

Теперь задачу можно свести к типовой задаче: найти на отрезке .

1) Найдем производную

Достаточно сравнить значение функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые попадают на данный отрезок. Продемонстрируем, что точка — точка максимума. Для этого проанализируем знак производной (см. рис.2).

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной.

Найдем значение функции в точках:

Итак, мы искали такой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, и периметр боковой грани равен 6. Нужно было среди всех таких параллелепипедов найти тот параллелепипед, который имеет наибольший объем. Мы свели задачу к алгебраической, то есть к задаче по нахождению наибольшего значения функции на заданном отрезке.

Получили ответ: параллелепипед имеет измерения . А наибольший объем .

Примеры для самостоятельного решения

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен , а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить этот периметр.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед и его боковые грани и измерения.

Закрытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?

Периметр осевого сечения цилиндра равен p см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем бы наибольшим?

Домашнее задание

1. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м 3 . При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды основания которых являются квадратами

1. Прямой параллелепипед – боковые грани фигуры перпендикулярны ее основаниям и являются прямоугольниками.
2. Прямой параллелепипед может быть прямоугольным – основаниями являются прямоугольники.
3. Наклонный параллелепипед – боковые грани не перпендикулярны основаниям. – все грани фигуры являются равными квадратами.
4. Если все грани параллелепипеда – это одинаковые ромбы, он называется ромбоэдром.

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Скажи сначало тест а то так не понятно

Угол AON=углуNOB=1/2 AOB=45
уголKON=углуNOP=1/2 AON=22,5
уголKOP=уголKON+уголNOP=22,5+22,5=45

В Краснодарском крае известно 206 основных месторождений нерудных и рудных полезных ископаемых. Среди них выделяются месторождения: а) цветных камней; б) ртути; в) горнотехнического, агрохимического сырья и минеральных солей (формовочные материалы, карбонаты для химической промышленности, йод, гипс и ангидрит); г) строительных материалов (цементное сырье, строительные камни, песчано-гравийные материалы, керамзитовое сырье, строительные и облицовочные камни, морская ракушка).
Промышленность строительных материалов в Краснодарском крае производит: а) вяжущие вещества, включая цемент, строительную известь и гипс; б) строительную керамику; в) санитарную керамику; г) искусственные каменные материалы и изделия; д) стекло и стеклоизделия. Кроме того, осуществляется обработка природных каменных материалов и естественных облицовочных материалов. Из отраслей пищевой промышленности в пределах Краснодарского края нерудное минеральное сырье используют сахарные заводы. Химическая промышленность ориентирована в основном на производство кальцинированной соды по аммиачно-хлоридному методу. При этом используется поваренная соль и известняк.

S=(a+b/2)×h
S= (21+17/2)×7

Упр.965 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.