Размер и размерность матрицы в чем разница

Что такое матрица? Понятие матрицы.

Матрицы — традиционная головная боль для очень многих студентов. Я бы даже сказал, подавляющего большинства. Ну вот не любят студенты матрицы, хоть ты убей!

Но высшая математика на то и высшая, что работает с более сложными объектами, чем привычная школьная. От этого никуда не деться.) И матрица — один из первых таких объектов, с которым студенты знакомятся уже на первом курсе ВУЗа. И мы тоже познакомимся.)

Итак, ключевые причины, почему же студенты не любят матрицы и всячески стараются избегать работы с ними. Перечислю их.

Причина первая — визуальное восприятие. Оно… непривычно, да.) С формулами, уравнениями, графиками у народа обычно всё более-менее ясно и прозрачно: в школе всё худо-бедно решалось, строилось, ощущалось. Всё знакомо. А тут… Какая-то табличка, какие-то малопонятные буковки с индексами (аж двумя!), которые так и норовят путаться перед глазами. Всё это поначалу очень смущает и даже пугает, да…

Причина вторая — это действия с матрицами. Их очень и очень много. Сложение матриц, умножение матриц, транспонирование матриц, поиск обратной матрицы, вычисление определителя, вычисление миноров матрицы, ранга матрицы… Причём все эти операции тоже весьма специфичны и имеют очень мало общего с действиями над обычными числами и алгебраическими выражениями из школьной математики. Эти фишки тоже очень здорово выбивают из колеи.

Причина третья — это рутина. Спору нет, работа с матрицами порой бывает весьма занудной. И скучной. А вместе с рутиной неизбежно возрастает и вероятность глупых арифметических ошибок, да… Особенно при работе с матрицами больших размерностей и/или в процессе элементарных преобразований. Где-то минус теряется, где-то вместо нуля единица пишется, где-то 3+4 двенадцать получается… Эти ляпы на общем фоне рутинной работы просто-напросто не замечаются. И лечатся только лишь предельным вниманием. К сожалению.

И даже после прочтения всех этих ужасов отчаиваться и впадать в панику рано. Прорвёмся!) Для начала успокою: матрица сама по себе — понятие очень простое. Да-да! И главное — полезное и очень мощное в высшей математике. Такое же полезное и мощное, как, скажем, формулы сокращённого умножения в школьной алгебре.) Сомневаетесь? Не надо.) Всё сами дальше увидите. Нужно лишь собраться с духом, рискнуть и… почитать.)

Итак, начнём с первой проблемы — с визуального восприятия.)

Что такое матрица? Устройство матрицы.

Так что же такое матрица? Нет, ничего общего с известным американским научно-фантастическим боевиком данное понятие не имеет. Ну… очень-очень отдалённое сходство всё же есть.)

Итак, удивляемся, но запоминаем:

Матрица — это просто прямоугольная таблица каких-либо элементов.

И всё! Ничего хитрого за этим страшным понятием больше не кроется.) Разумеется, каждое слово в определении несёт свой собственный смысл, да. Разберёмся?)

Слова «прямоугольная таблица» вопросов ни у кого не вызывают (надеюсь).

Например, можно сочинить что-нибудь типа такого:

Чем не прямоугольная табличка?) Но матрицы в высшей математике изображаются и выглядят немножко по-другому, нежели то что мы называем таблицей в привычном восприятии.

Чаще всего матрица в математике записывается вот так:

Всё очень просто и компактно, правда? Никаких рамок, никаких ячеек — ничего чертить и рисовать не нужно. Любая матрица записывается просто набором каких-то чисел в скобочках. Скобочки, кстати, могут быть не только круглыми. Могут быть и квадратными:

Или даже в виде вот таких двойных прямых палочек:

Это всё одно и то же. В большинстве учебников обычно используются круглые скобки. Квадратные скобки чаще встречаются в технических дисциплинах — в сопромате, строительной механике, теории упругости и т.п. Двойные — почти нигде не встречал. Я всё-таки буду следовать традициям и рисовать круглые скобки. Надеюсь, возражений нет.)

Итак, с таблицей разобрались. Что же такое «элемент»? Тоже элементарно (сорри за тавтологию). Любое число, стоящее в матрице на определённом месте, и будет её элементом! Для нашей матрицы число 1 — элемент, 5 — тоже элемент, и 10 — тоже элемент. В общем, вы поняли…

Кстати, слова «на определённом месте» я выделил не зря. И вот почему. Дело всё в том, что любую матрицу следует воспринимать именно как таблицу! А вовсе не как простое множество или набор чисел. Поясняю в чём суть. Рассматривая простое множество чисел, скажем, <1; 2; 3>, мы имеем полное право переставлять элементы множества как попало.

Например, мы можем переставить единичку и двойку. Получим:

Или переставить двойку и тройку:

И так далее. Перестановки элементов множества на его сути никак не сказываются. А вот матрицы более чувствительны к перестановкам. И переставлять элементы матрицы просто так нельзя! Каждый элемент строго на своём месте, в своей ячейке. И если переставить местами хотя бы два элемента, то получится, вообще говоря, уже другая матрица. С другими свойствами, да.

Элементами матрицы, кстати, могут быть не только числа. Могут быть и буквенные выражения, и даже функции. Всякое может быть.) Матрицы с функциями в качестве элементов так и называются — функциональными. Это — довольно сложная штука. И встречается уже в серьёзных разделах высшей математики — в дифференциальных уравнениях, в теории функций нескольких переменных и т.п. Этих ужасов пока не будет.)

Мы же пока будем работать только с матрицами, элементами которых являются числа. Или с числовыми матрицами. Намёк понятен?)

Откуда взялись матрицы, зачем они нужны и в чём их смысл?

Итак, мы выяснили, что матрица — это какая-то табличка. Чаще всего с какими-то числами. Ну и что из этого — спросите вы? Табличка и табличка… Что с ней делать-то? Просто пучить глазки? А делать можно очень много полезного! В соответствующих уроках сами увидите.)

На самом деле с матрицами вы постоянно сталкивались ещё в школе. Сами того не подозревая. Не верите? Сейчас удивитесь.)

Слова «система уравнений» вам знакомы?

Например, такая простенькая системка из двух линейных уравнений:

Решив её (например, подстановкой), получим ответ:

Или, кратенько: (1; 2).

Можно изменить коэффициенты при икс и игрек и получить какую-то новую систему. Например, такую:

Решив её, получим новый ответ: (1; 3).

А можно, например, коэффициенты при переменных не трогать, зато как-то поменять свободные члены. Вместо 8 и 3 записать, скажем, 1 и 2. Получим снова какую-то систему и какое-то решение…

Короче говоря, меняя в системе уравнений коэффициенты при неизвестных и/или свободные члены, можно получать какие-то решения для конкретной системы. Для каждого набора чисел — свои. Кстати, можно и такое наподбирать, что система вообще не будет иметь решений или будет иметь бесконечно много решений.)

Эта система имеет бесконечно много решений. И (1; 1) — решение, и (0; 2) — решение, и (0,5; 1,5) — тоже решение. Можно перечислять до посинения…)

А теперь я изменю в этой системе всего одно число и получу систему, которая вообще не имеет решений:

Кому интересно, можете решить подстановкой. Получите забавный результат 6=5. Попробуйте.)

Итак, что мы видим? Мы видим, что решение системы колоссальным образом зависит от этого самого набора чисел. Причём только от него! Этот факт настолько важен, что математики даже придумали этот самый набор чисел (коэффициентов и свободных членов системы) оформлять в виде таблички. Или, говоря математическим языком, в виде матрицы.

Меняя содержимое табличек (матриц) коэффициентов и свободных членов, мы будем получать различные системы линейных уравнений. С различными решениями, да.)

Кстати, вот вам и ответ на вопрос, почему мы не можем просто так переставлять элементы в матрице. Не догадались? Да! Переставив местами хотя бы два элемента, мы получим уже другую матрицу, соответствующую другой системе уравнений. И с другими решениями…

Ну ладно, системы из двух уравнений — это ещё легко. При их решении про матрицы можно особо не вспоминать: выражай себе по-школьному икс через игрек (или наоборот), делай подстановку, решай — и дело с концом. А вот система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными уже гораздо злее.) Заниматься явным выражением одной переменной через другую, подстановкой и прочим школьным занудством уже неохота, да… А если уравнений и/или неизвестных ещё больше? Скажем, четыре или пять…)

И вот тут возникает вполне закономерный вопрос: а можно ли, как-то работая напрямую только с матрицами (коэффициентов и свободных членов), попробовать выяснить:

1) Есть у системы решение или нет его? Или решений вообще бесконечно много?

2) Если решение есть и единственно, то отыскать его быстро и легко.

Новость хорошая: да, можно! Добро пожаловать в новый раздел высшей математики! Под названием линейная алгебра.)

Именно этот раздел и занимается решением систем линейных алгебраических уравнений. Сокращённо — СЛАУ.) Эта страшная аббревиатура будет мозолить вам глаза на протяжении почти всех уроков этого раздела. Привыкаем.)

Причём прошу обратить особое внимание на слово «линейных». Это слово означает, что все неизвестные (x, y, z, …) входят во все уравнения максимум в первой степени и нигде не должно быть деления на неизвестное.

Это система двух линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными. Все неизвестные (x, y, z) в только первой степени, деления на неизвестное ни в одном из уравнений нету. То что число неизвестных больше числа уравнений — вопрос другой. В соответствующем уроке мы научимся с такими злыми системами расправляться.) Главное, что оба уравнения — линейные. Это важно.)

А теперь я изменю в этой системе всего одно слагаемое. Нарисую, например, квадратик над иксом во втором уравнении:

А вот такая система уравнений будет уже нелинейна, да… Именно из-за этого самого квадратика, нарушающего базовый принцип «все неизвестные только в первой степени». К нелинейным системам имеется свой индивидуальный подход, и линейная алгебра перед ними бессильна… С такими системами мы в этом разделе работать не будем. На радость студентам.)

Матрицы — очень мощный инструмент для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Но не одними лишь системами уравнений ограничивается применение матриц! Матрица — это ещё и своего рода математический оператор. Или преобразователь. Который что-то куда-то преобразует. Или отображает. Как фотоаппарат.) Скажем, один вектор через матрицу можно отобразить в другой. Мощная штука.) Об этом в более серьёзных темах линейной алгебры будет. А системы — так, частный случай. Для начального знакомства.

Как обозначать матрицу и её элементы?

Очень просто. Любые матрицы в математике обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C и так далее.

Например, нашу матрицу, приведённую в начале урока, можно обозначить вот так:

И все дела. Слева от знака равенства — название матрицы, справа — её содержимое. В скобочках.)

Но это ещё не все обозначения. Есть и другие, более специфические. Разберём и их.

Любая матрица — это ведь табличка, не так ли? А из чего у нас состоит любая табличка? Правильно, из строчек и колонок! Только это в обиходе.) А в математике те же самые названия звучат более научно — строки и столбцы! Зацените.)

Количество этих самых строк и столбцов коротко записывают в виде произведения m x n и называют размерностью матрицы. Которая дополнительно может указывается в виде подстрочного знака.

Читается эта запись очень просто: «матрица A размерности m на n». И вот тут студентов могут подстерегать первые проблемы. Какое число (буква) за что отвечает?

Запоминаем:

В размерности матрицы m x n первое число (m) — это (всегда!) количество СТРОК в матрице. Второе число (n) — количество СТОЛБЦОВ.

Именно в таком порядке. Сначала строки, а потом — столбцы. А не наоборот. Например, наша матрица — это матрица размера «два на три»:

У неё две строки (m=2) и три столбца (n=3).

Размерность — ключевая характеристика любой матрицы. Почему? А потому, что на некоторые операции с матрицами (например, на сложение, умножение, взятие определителя и обратной матрицы) существуют очень жёсткие ограничения по размерности! Сами увидите. В соответствующих уроках.)

А как кратко в общем виде обозначать элементы матрицы? Тоже просто. Маленькими латинскими буквами с двойным индексом.

Например, вот так:

И всё. Читается эта закорючка так: «а и-жи». Или: «а итое-житое». Забавно, да? Тем не менее вполне себе научно.)

И снова могут быть проблемы с расшифровкой индексов. В школе ведь мы привыкли работать с одиночными индексами. В прогрессиях, например. А тут — двойной! Какой индекс что означает? Не беда! Принцип расшифровки индексов тот же самый — сначала строка, а потом столбец. Первый индекс «i» («и»)– это номер строки, где находится интересующий нас элемент. Второй индекс «j« («жи») – номер столбца.

Например, нам дана такая матрица A:

Размерности какой, кстати? Правильно, «три на три». Или A₃_x₃. Пусть нам надо обратиться, скажем, к элементу матрицы a₂₃ .

Здесь первый индекс «и» равен двойке (i=2), а второй индекс «жи» – тройке (j=3). Вот и пересекаем (мысленно!) вторую строку и третий столбец. На пересечении получаем нужный нам элемент a₂₃ = 3.

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца мы получим элемент матрицы a₁₁ = 0, на пересечении третьей строки и второго столбца — элемент a₃₂ = 7 и так далее. Чем-то похоже на игру в кораблики или морской бой, не находите?) Вроде бы, всё элементарно. И что, думаете не ошибаются люди? Ошибаются, ещё как! Ещё один источник дурацких ошибок при работе с элементами матриц — это неправильная нумерация строк и столбцов. Со столбцами обычно всё ясно — нумеруем и читаем привычно, слева направо. Не арабы, чай…) А вот со строками могут случаться и непонятки — сверху вниз их нумеровать или снизу вверх…

Запоминаем:

В элементе матрицы a_ij первый индекс (i) — номер строки, второй индекс (j) — номер столбца. Нумерация строк (всегда!) — сверху вниз. Нумерация столбцов (всегда!) — слева направо.

А теперь, разобравшись с загадочными индексами i и j, мы подходим к самому научному способу задания матрицы — через элемент матрицы в общем виде и диапазон изменения индексов.

Вот она, эта запись:

Расшифровываются эти страшные иероглифы так:

Задана матрица А с элементами a_ij , где индекс «i» принимает все натуральные значения от единицы до «эм» включительно, а индекс «j» — все натуральные значения от единицы до «эн» включительно.

Солидно, да… Куда проще не заморачиваться и написать кратко и точно A_mxn, правда? Но будьте готовы и к такой супернаучной форме записи. Особенно в каких-нибудь продвинутых учебниках.)

Внимание! Запись элемента a₂₃ читается и произносится как «а два три«. Именно так, вы не ослышались.) Ни в коем случае не «a двадцать три«! Или b₁₁ — это элемент «бэ один один« (а не «бэ одиннадцать« )! Такое чтение — это… гм… серьёзный вызов преподавателю.) И говорит о полном отсутствии хоть какого-то понимания. О «зачёте» (или «удовл») даже и не мечтайте после этого. Вот так.

Основные сведения о матрицах

В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.

Матрицей размера m x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A , B , C ,….

Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: a_ij _, где i — номер строки, j — номер столбца.

В сокращенной записи обозначаем A =( a_ij ); i =1,2,… m ; j =1,2,…, n

Приведем пример матрицы 2 на 2:

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, a_ij = b_ij для любых i =1,2,… m ; j =1,2,… n

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) — строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)- столбцом:

Матрица называется квадратной n -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n .

Элементы матрицы a_ij , у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a ₁₁, a ₂₂,…, a_nn .

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые — специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число называется матрица B=A, элементы которой b_ij=a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A — B = A +( -1)∙ B .

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A_m ∙B _kназывается такая матрица C_m, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

a) Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b) Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

5. Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А ‘ называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m , то транспонированная матрица А’ имеет размер n

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А Т

Размер vs. размерность матрицы

Размерность матрицы в файле
Здраствуйте, вот у меня кусок кода в котором я открываю файл и записываю в матрицу q на w! Хотел.

Как изменить размерность матрицы
Помогите плз. Мне нужно просграммно поменять размерность матрицы. Например была матрица mat а.

Ввести размерность матрицы с клавиатуры
Задача: создать массив N*M, (ввод размерности с клавиатуры) и вывести его на экран. Написала код.

Задать размерность матрицы с клавиатуры
Задан двумерный массив U. Значения n и m должны вводиться. Внутренние значения массива выбираются.

"Векторы и матрицы характеризуются размерностью и размером. Размерность определяет структурную организацию массивов в виде строки (размерность 1), страницы (размерность 2), куба (размерность 3) и т. д. Так что вектор является одномерным массивом, а матрица представляет собой двумерный массив с размерностью 2.
Размер вектора — это число его элементов, а размер матрицы определяется числом ее строк т и столбцов п. Обычно размер матрицы указывают как тхп".

Лично я в случае с квадратной матрицей пишу: "Введите размерность матрицы". А в противном случае: "Введите матрицу размера n на m".

Матрица (математика)

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы [1] , в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы); матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. [2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейный (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.

Содержание

История

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г. [3]

Определение

Пусть есть два конечных множества $M=\<1,2,\dots,m\>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ и — натуральные числа.

Назовём матрицей размера $m\times n$ (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля $\mathcal<K>» width=»» height=»» /> отображение вида <img decoding=$ называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -той строки и -ого столбца;

-ая строка матрицы состоит из элементов вида , где пробегает всё множество ;
-ый столбец матрицы состоит из элементов вида , где пробегает всё множество .

Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов A(i,j) полностью определяет матрицу.

$m\times n$

Таким образом, матрица размера состоит в точности из

строк (по элементов в каждом)
и столбцов (по элементов в каждом)
или элементов.

В соответствии с этим

каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в -мерном координатном пространстве $\mathcal<K>^<n>» width=»» height=»» />;</li> <li>каждый столбец матрицы — как вектор в <img decoding=$ -мерном координатном пространстве $\mathcal<K>^<m>» width=»» height=»» />.</li> </ul> Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве <img decoding=$ . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число называется размером квадратной матрицы или её порядком.

Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

$A\colon M\times N\to\mathcal<K>» width=»» height=»» />, тогда <img decoding=$ — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля $\mathcal<K>» width=»» height=»» /> вида <img decoding=$ , находящийся на пересечении -той строки и -того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера $m\times n$ :

-тая строка матрицы ,

$a_<\cdot j>=A^j=\left[ \begin<array> <c>a_<1j>\\\vdots \\a_ <ij>\\\vdots \\a_ <mj>\\ \end<array>\right]» width=»» height=»» /> — это <img decoding=$ -тый столбец матрицы .

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам:

$A=[ \begin<array> <ccccc>A^ <1>& \cdots & A^ <j>& \cdots & A^ <n>\\ \end<array>]» width=»» height=»» /> <img decoding=$ связана матрица вида

$b_<ji>=a_<ij>,\quad i=\overline<1,n>,\quad j=\overline<1,m>.» width=»» height=»» /> Такая матрица называется транспонированной матрицей для <img decoding=$ и обозначается так при этом преобразовании станет матрицей размерностью $n\times m$ .

Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые $(i \neq j: a_<ij>= 0)» width=»» height=»» />, иногда записывается как: <img decoding=$

Нулевая матрица

$\Theta$

Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении ее с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например .

Вектор-строка и вектор-столбец

Матрицы размера $m\times 1$ и $1\times n$ являются элементами пространств $\mathcal<K>^<m>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

матрица размера $1\times n$ называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число $\lambda$ (обозначение: $\lambda A$ ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен

$\ b_<ij>= \lambda a_<ij>» width=»» height=»» /> Свойства умножения матриц на число: <ul> <li>1. 1A = A;</li> </ul> <ul> <li>2. (λβ)A = λ(βA)</li> </ul> <ul> <li>3. (λ+β)A = λA + βA</li> </ul> <ul> <li>4. λ(A+B) = λA + λB</li> </ul> <h4>Сложение матриц</h4> Сложение матриц <img decoding=$ есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

$\ c_<ij>= a_ <ij>+ b_<ij>» width=»» height=»» /> Свойства сложения матриц: <ul> <li>1.коммутативность: A+B = B+A;</li> </ul> <ul> <li>2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);</li> </ul> <ul> <li>3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;</li> </ul> <ul> <li>4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;</li> </ul> Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема: Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образуют линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами. <h4>Умножение матриц</h4> Умножение матриц (обозначение: <img decoding=$ , реже со знаком умножения $A\times B$ ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

$\! c_<ij>= \sum^n_ <k=1>a_ <ik>b_<kj>» width=»» height=»» /> Количество столбцов в матрице <img decoding=$ должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность $m \times n$ , — $n \times k$ , то размерность их произведения A B = C есть $m \times k$ .

Свойства умножения матриц:

$\neq$

1.ассоциативность(AB)C = A(BC);

2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Умножение вектора на матрицу

По обычным правилам матричного умножения осуществляется умножение на матрицу слева вектора-столбца, а также умножение вектора-строки на матрицу справа. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:

для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):

$(Av)_= \sum^n_ <k=1>a_ <ik>v_<k>,» width=»» height=»» /> для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA): <img decoding=$ — число, комплексно сопряжённое к .

Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_<ij>)» width=»» height=»» />, то <img decoding= . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

Для квадратной матрицы определен след:

$\mathrm<Tr>A = \sum\limits_a_<ii>» width=»» height=»» /> (иногда также обозначается как Sp или Spur). Является инвариантом ортогональных (унитарных) преобразований матрицы, соответствующих преобразованию матричного представления линейного оператора или билинейной (квадратичной) формы при соотвестствующем преобразовании векторного пространства (например, вращении). <h4>Определитель (детерминант)</h4> <h4>Перманент</h4> <h4>Линейные трансформации </h4> <img decoding=$

Матрицы и их произведения выявляют их существенные особенности, когда это связано с линейными преобразованиями, так же известными, как линейные карты. Матрица A вещественных чисел размера m × n порождает линейное преобразование R n → R m отображая каждый вектор x в R n на новую матрицу Ax, которая является вектором R m . Наоборот, каждое линейное преобразование f: R n → R m вытекает из уникальной m × n матрицы A: явно (i, j)-вхождение матрицы A есть i-тая координата f(e_j), где e_j = (0,…,0,1,0,…,0) является единичным вектором с единицей в j-той позиции и 0 в остальных случаях. Матрица A как говорят, представляет собой линейную карту f, и называется матрицей трансформирования f.

Для примера матрица 2×2

$\mathbf A = \begin<bmatrix>a & c\\b & d \end<bmatrix>\, » width=»» height=»» /> может быть рассмотрена при трансформации единичного квадрата в параллелограмм с вершинами (0, 0) , (a, b) , (a + c, b + d) , и (c, d) . Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путем умножения матрицы A на каждый вектор-столбец <img decoding=$ Горизонтальный сдвиг (m=1.25) Горизонтальный поворот Сжатие (r=3/2) Масштабирование (3/2) Поворот (π/6 R = 30° ) $\begin<bmatrix>1 & 1.25 \\ 0 & 1 \end<bmatrix>» width=»» height=»» /></td> <td> <img decoding=$

Связанные понятия

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов $\mathbf<x>_1,\dots,\mathbf<x>_n» width=»» height=»» /> называется вектор <img decoding=$

где — коэффициенты разложения:

если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение C=AB матриц и терминах линейных комбинаций:

столбцы матрицы — это линейные комбинации столбцов матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы ;
строки матрицы — это линейные комбинации строк матрицы с коэффициентами, взятыми из матрицы .

Линейная зависимость

Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.

Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

$\mathbf<0>=a_1\mathbf<x_1>+\dots+a_n\mathbf<x_n>,» width=»» height=»» /> <img decoding=$

где не все числа равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой.

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

если строки матрицы линейно зависят от строк матрицы , то для некоторой матрицы ;
если столбцы матрицы линейно зависят от столбцов другой матрицы , то для некоторой матрицы .

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Свойства

Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

$\Theta$

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

$A + \Theta = A$

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность умножения:
Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: $AB \ne BA$ . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц. умножения относительно сложения:
С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
Свойства операции транспонирования матриц:

Примеры

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений

Систему из линейных уравнений с неизвестными

$\begin<cases>a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \ldots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \ldots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_<m1>x_1 + a_<m2>x_2 + \ldots + a_<mn>x_n = b_m \end<cases>» width=»» height=»» /> можно представить в матричном виде <img decoding=$

и тогда всю систему линейных уравнений можно записать так:

где

имеет смысл таблицы коэффициентов a_<ij>» width=»» height=»» /> системы линейных уравнений.
Если <img decoding=

и матрица

невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A^<-1>» width=»» height=»» />, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева
<img decoding=