Задача 10683 Три различных натуральных числа являются.
Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
Решение
Пусть с – наибольшая сторона треугольника, а-наименьшая.
Согласно «неравенству треугольника» каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
c < a+b — условие (1)
По теореме косинусов
c^2=a^2+b^2-2abcos ∠C ⇒
так как угол С- тупой, косинус тупого угла отрицательный, поэтому сумма трех положительных чисел больше сумма первых двух.
c^2 > a^2+b^2 – условие (2)
a) найдем такие с и a, что с/a=3/2
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Третья сторона a < b < c.
Пусть с=15; a=10; b=11
Проверяем первое условие b+a > c: 11+10 > 15 – верно
Проверяем второе условие c^2 > a^2+b^2: 225 > 100+121 — верно.
О т в е т. с=15; a=10; b=11 с/a=15/10=3/2
б) найдем такие с и a, что с/a=5/4
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Пусть с=10; b=8; a=9
Проверяем первое условие b+a > c: 8+9 > 10 – верно
Проверяем второе условие 100 > 64 + 72 — неверно.
Покажем, что нет таких натуральных чисел, которые могли быть сторонами данного треугольника.
Обозначим с/a=5k/4k , k- натуральное
c=5k a=4k
4k < b < 5k ⇒ b достаточно взять от 4k+1 до 5k-1.
Пусть b — наименьшее из возможных b = 4k+1
Чтобы выполнялось второе условие c^2 > a^2+b^2:
(5k)^2 > (4k)^2+(4k+1)^2 ⇒ 7k^2+8k+1 < 0
Неравенство имеет решение на множестве (1/7;1).
Что не удовлетворяет условию к- натуральное
О т в е т. Нет таких натуральных чисел.
в) найдем наименьшее с/a, если b=18
c-наибольшая, a – наименьшая сторона. c > 18, a < 18.
Для того чтобы отношение (дробь) было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим.
Выберем a =17 > 18 – это наибольшее натуральное число из возможных.
Из условия c^2 > a^2+b^2 ⇒ c^2 > 17^2+18^2=289+324=613, √613 ≈24,75
c=25
О т в е т. с/а= 25/17.
Какие ответы на вопросы о соотношениях сторон в тупоугольном треугольнике?
Поскольку вопрос не про любой треугольник, а про тупоугольный. То вспомним определение тупоугольного треугольника. Один из углов больше 90˚ и еще напротив большего угла лежит большая сторона. Объединив знания теоремы косинусов и теоремы Пифагора, как частного случая теоремы косинусов, то сторона лежащая напротив тупого угла c² > a² + b². Ну и конечно же надо не забыть про неравенство треугольника с < a + b; a < b + c; b < a + c
Да. может
Конечно можно вывести общую зависимость приравняв с = 2a, но проще привести пример. Возьмем Египетский треугольник 3; 4; 5; и увеличим большую сторону на +1. Получим тупоугольный 3; 4; 6: 6² > 3² + 4²
Нет. не может
(4x)² > (3x)² + b² и 3x < b < 4x
получается b > 3x, но для тупоугольного b < 3x — невозможно.
тут нам дано b=20. Что бы отношение принимало наименьшее значение, то должен быть либо меньший числитель, либо больший знаменатель.
1 вариант: наименьший числитель с = 21, тогда 21²-20² > a²; √41 > a, то наибольшее a = 6
Неравенство ∆ выполняется и получаем 21/6 = 3,5
2 вариант: наибольший знаменатель a = 19, тогда 19² + 20² < c²; √761 < c, то наименьшее c = 28
Неравенство ∆ выполняется и получаем 28/19 ≈ 1,47
Наименьший вариант: 28/19
Проверим каждое утверждение. Основной проверочной теоремой является теорема о неравенстве треугольника, то есть сумма двух сторон больше третьей стороны.
А) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2? Ответ да, например, 3,5,6. Меньшая сторона в 2 раза меньше большей и сумма двух сторон больше третьей.
Б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 4:3? Проверяем числа с пропорциями 4:3. 3,3,4 — не подходит, так как числа должны быть различными. 6,7,8. Подходит, отношение большего к меньшему 8:6=4:3, все числа разные и сумма двух чисел больше третьего. Ответ: да.
В) Если среднее число равно 20, то ясно, что наименьшее значение отношений большего к меньшему будет, если другие числа соседние. То есть 19 и 21. И это отношение равно 21/19.
Про три различных натуральных числа известно что они являются длинами сторон некоторого треугольника
Задание 19. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7?
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
Будем полагать, что самая большая сторона тупоугольного треугольника – это его основание AB. Тогда сумма двух других его сторон , но меньше (иначе тупой угол перейдет в прямой, а затем в острый).
а) Найдем натуральные a и b такие, что . Можно положить, например, что a=13, b=7, а . Первое условие выполняется, второе условие также выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.
Ответ: a=13, b=7, c=8.
б) Найдем натуральные a и b такие, что . При этом, число , так как b по условию – меньшее число. Например, выберем a=8, b=7, c=8. Проверим выполнение условий:
Второе условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. Для выполнения второго условия лучше всего будут подходить величины a, b, c, равные
и второе условие можно записать в виде
и при последнее неравенство всегда будет положительным, то есть подобрать величины a, b, c невозможно.
в) Нужно найти наименьшее значение , при значении c=25. Для минимизации отношения, необходимо величину выбрать как можно ближе к 25 и величину также выбрать как можно ближе к 25. При этом должны выполняться условия для тупоугольного треугольника (см. выше). Первое условие легко выполняется, поэтому обратим внимание на второе условие . При максимальном значении b=24, получаем:
то есть минимальное значение должно быть равно 35. Таким образом, минимальное значение отношения, равно
Про три различных натуральных числа известно что они являются длинами сторон некоторого треугольника
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $$\frac<13><7>$$?
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $$\frac<8><7>$$?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?