Почему нельзя решить уравнение 5 степени

Уравнение четвёртой степени — График многочлена 4 ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками. Уравнение четвёртой степени  в математике алгебраическое уравнение вида: Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой… … Википедия

Уравнение четвертой степени — Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: . Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении… … Википедия

АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… … Математическая энциклопедия

Алгебра — Общие сведения Алгебра один из больших разделов математики (См. Математика), принадлежащий наряду с арифметикой (См. Арифметика) и геометрией (См. Геометрия) к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А.,… … Большая советская энциклопедия

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… … Математическая энциклопедия

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:1. Квантовые поля . 3002. Свободные поля и корпускулярно волновой дуализм . 3013. Взаимодействие полей . 3024. Теория возмущений . 3035. Расходимости и… … Физическая энциклопедия

ЛИ ГРУППА — группа G, обладающая такой структурой аналитического многообразия, что отображение прямого произведения в Gана литично. Другими словами, Ли г. это множество, наделенное согласованными структурами группы и аналитич. многообразия. Ли г. наз.… … Математическая энциклопедия

АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз.… … Математическая энциклопедия

Шафаревич, Игорь Ростиславович — Игорь Ростиславович Шафаревич Дата рождения: 3 июня … Википедия

О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа

Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике.

Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини.

Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых «Арифметических исследованиях». К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками — Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

Мотивация данной статьи

Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.

На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.

Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x 5 -10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S₅, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы S_n. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными.

Немного иной подход описан в книге Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое.

Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля.

После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки — работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки — знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

Решения уравнений в радикалах

Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

Формулы Виета — напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x₁ + x₂ + x₃, x₁x₂x₃, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃.

Теорема о симметрических многочленах — каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

Первообразные корни n-й степени из единицы — комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1) 2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2) 3 = 1, i 4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы.

Основная теорема алгебры — гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

Пусть f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x₁, x₂, x₃, x₄ его корни.

Напомним, что его коэффициенты — это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x — x₁)(x -x₂)(x — x₃)(x — x₄):

Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x₁x₂ + x₃x₄, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:

На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y₁ + wy₂ + w 2 y₃) 3 , где w — это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

Теперь составим квадратное уравнение на z₁ и z₂:

z₁+z₂ и z₁z₂ — будут симметрическими функциями от корней нашего изначального уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z₁, z₂. После чего, извлекая кубические корни из z₁, z₂, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y₁. Далее, c помощью y₁ и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x₁, x₂, x₃, x₄ изначального уравнения.

Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

Неразрешимость уравнения 5-й степени

Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней.

Пусть f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ его корни. Обозначим за y₁ первый радикал входящий в значение x₁ в порядке вычисления. Пусть y₁ n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y₁ уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней — g(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y₁ n = p, которые имеют вид g, zg, z 2 g, z 3 g … z n-1 g, где z — первообразный корень n-й степени из единицы (z n =1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x₁, x₂), тогда

если мы применим ее еще раз, то получим:

Из этого следует, что z 2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y₁ будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x₁, x₂, x₃) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x₁, x₂)(x₂, x₃). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y₁ к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y₁ будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y₂, тогда y₂ n = q, где q — это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y₁.

В данном случае z 3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы.

Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней

Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x₃,x₂,x₅,x₁,x₄ -> x₂,x₅,x₁,x₄,x₃. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

но, выше мы уже видели, что

а из этого следует

что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x₁, x₂, x₃).

Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли набор значений при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S₅, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A₅, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A₅ является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

Заключение

Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.

Уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Наиболее известными схемами для решения являются:

• Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
• Метод Феррари для уравнений 4-ой степени; Виета для степени больше двух;
• Теорема Безу;
• Схема Горнера.

Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.

Теорема Виета

Рассмотрим уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:

Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.

Решите уравнение: $x^3+x^2-4x-4=0$.

Решение:

Составим систему уравнений:

$\begin x_1+ x_2+x_3=-\frac<1> <1>\\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac<4><1>=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac<4><1>\\ \end$

Решив её, получим следующие корни:

Теорема Безу

Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида $a_0x^n + a_1x^+a_2x^+. +a_x+a_n=0$ с ненулевым свободным членом имеет некий корень $α$, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.

Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:

1. Найти и выписать все делители свободного члена.
2. Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
3. Разделить всё уравнение на $(x-α)$ и записать само уравнение как произведение $(x-α)$ и результата выполненного деления.
4. Решить полученное после разложения уравнение.

Решение:

Делители члена не при переменной: $±1;±2;±3;±6$

Подставим $1$ в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:

Следовательно, $x_1=1$ — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:

Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:

Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: $x_<2,3>=-3;-2$.

Схема Горнера

Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида $a_0x^n + a_1x^+a_2x^+. +a_x+a_n=0$ через делители свободного члена.

После этого составляется специальная таблица с результатами деления на $(x-α)$, в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:

$b_0=a_0; b_1=αb_0+a_1; b_2=αb_1+a_2. b_= αb_+a_;b_n=αb_+a_n$.

Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Делители свободного члена — $±1;±2;±3;±6$

Запишем таблицу со коэффициентами:

Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на $(x-α)$ при $α=1$, равен $x^2+5x+6$.Получается, что исходное уравнение принимает вид:

Корни же второго многочлена будут $x_<2,3>=-2;-3$.

Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене

Данный метод основан на следующем условии:

Несократимая дробь $\frac

$ будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.

Алгоритм этого метода:

1. Поиск делителей свободного члена.
2. Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
3. Составление дробей и подбор решения.

Решение:

Делители свободного члена: $±1; ±2; ±3; ±6$.

Делители коэффициента при старшем члене: $1; 2$.

Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac<1><2>; -\frac<1><2>; \frac<3><2>; -\frac<3><2>$.

Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются $x_1=1;x_2= \frac<1><2>$.

Это значит, что многочлен можно разделить на $2(x-1)(x-\frac<1><2>)=2x^2-3x+1$. При выполнении деления получаем частное $x^2+10x+6$.

Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны $x_<3,4>=-5±\sqrt<19>$.

Доказательство теоремы абеля кратко

В математика, то Теорема Абеля – Руффини (также известен как Теорема невозможности Абеля) утверждает, что нет раствор в радикалах генералу полиномиальные уравнения из пятая степень или выше с произвольным коэффициенты. Вот, Общее означает, что коэффициенты уравнения рассматриваются и обрабатываются как неопределенный.

Теорема названа в честь Паоло Руффини, который сделал неполное доказательство в 1799 г., [1] и Нильс Хенрик Абель, который предоставил доказательство в 1824 году. [2] [3]

Теорема Абеля – Руффини относится также к немного более сильному результату, заключающемуся в том, что существуют уравнения пятой степени и выше, которые нельзя решить с помощью радикалов. Это не следует из утверждения Абеля теоремы, но является следствием его доказательства, так как его доказательство основано на том факте, что некоторые многочлены в коэффициентах уравнения не являются нулевым многочленом. Это улучшенное утверждение следует непосредственно из Теория Галуа § Неразрешимый квинтический пример. Теория Галуа также предполагает, что

— простейшее уравнение, которое нельзя решить в радикалах, и что почти все многочлены пятой степени и выше не могут быть решены в радикалах.

Невозможность решения в пятой и более высокой степени контрастирует со случаем более низкой степени: квадратичная формула, то кубическая формула, а формула четвертой степени для второй, третьей и четвертой степеней соответственно.

Содержание

Контекст

Полиномиальные уравнения степени два можно решить с помощью квадратичная формула, который известен с древность. Аналогичным образом кубическая формула для третьей степени и формула четвертой степени для четвертой степени были найдены в 16 веке. В то время фундаментальная проблема заключалась в том, можно ли аналогичным образом решить уравнения более высокой степени.

Тот факт, что каждое полиномиальное уравнение положительной степени имеет решения, возможно, ненастоящий, утверждалось еще в 17 веке, но полностью подтвердилось только в начале 19 века. Это основная теорема алгебры. Эта теорема не дает никаких инструментов для точного вычисления решений, но Метод Ньютона позволяет аппроксимировать их с любой желаемой точностью.

Теорема Абеля – Руффини доказывает, что это невозможно. Однако это не означает, что конкретное уравнение любой степени не может быть решено в радикалах. Напротив, есть уравнения любой степени, которые можно решить в радикалах. Это случай уравнения Икс п − 1 = 0 для любого п , и уравнения, определяемые циклотомические многочлены, все решения которой выражаются в радикалах.

Вскоре после того, как Абель опубликовал свое доказательство, Эварист Галуа представил теорию, которая теперь называется Теория Галуа который позволяет решить для любого данного уравнения, разрешимо ли оно в радикалах (это теоретически, так как на практике это решение может потребовать огромных вычислений, которые могут быть трудными даже с мощными компьютеры). Это решение принимается введением вспомогательных многочленов, называемых противовоспалительные средства, коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов исходного многочлена. Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда некоторая резольвента имеет рациональный корень.

Доказательство

Следующее доказательство основано на Теория Галуа и это действительно для любого поля характеристика 0. Исторически сложилось так, что Руффини [1] и доказательства Абеля предшествуют теории Галуа. Современное представление доказательства Абеля см. В статье Розен [5] или книги Тиньола [6] или Пешич. [7]

Одна из основных теорем теории Галуа утверждает, что многочлен п ( Икс ) ∈ F [ Икс ] разрешима радикалами над F если и только если это поле расщепления K над F имеет разрешимый Группа Галуа, [8] так что доказательство теоремы Абеля – Руффини сводится к вычислению группы Галуа общего многочлена пятой степени и показу, что она неразрешима.

тот же полином, что и

Доказательство недействительно, если применить его к многочленам, степень которых меньше 5. В самом деле:

Доказательство остается в силе, если вместо работы с пятью неопределенными один работает с пятью конкретными объектами. алгебраически независимый комплексные числа, потому что по тому же аргументу Гал ⁡ ( E / F ) = S 5 .

История

Доказательство также, как выяснилось позже, было неполным. Руффини предположил, что все радикалы, с которыми он имел дело, могут быть выражены из корней многочлена, используя только полевые операции; Говоря современным языком, он предположил, что радикалы принадлежат полю расщепления полинома. Чтобы понять, почему это действительно лишнее предположение, рассмотрим, например, многочлен п ( Икс ) = Икс 3 − 15 Икс − 20 . Согласно с Формула Кардано, один из его корней (на самом деле все они) можно выразить как сумму кубического корня из 10 + 5 я с кубическим корнем из 10 − 5 я . С другой стороны, поскольку п ( − 3 ) 0 0 0> , п ( − 1 ) 0 0 0> , корни р 1 , р 2 , и р 3 из п ( Икс ) все реальны, и поэтому поле Q ( р 1 , р 2 , р 3 ) является подполем р . Но тогда числа 10 ± 5 я не может принадлежать Q ( р 1 , р 2 , р 3 ) . Хотя Коши либо не заметил предположение Руффини, либо посчитал его второстепенным, большинство историков полагают, что доказательство не было полным, пока Абель не доказал теорему о естественной иррациональности, которая утверждает, что это предположение выполняется в случае общих многочленов. [6] [13] Таким образом, теорему Абеля – Руффини обычно приписывают Абелю, который опубликовал в 1824 году доказательство, сжатое всего на шесть страниц. [2] (Авель использовал очень лаконичный стиль, чтобы сэкономить бумагу и деньги: проба была напечатана за его счет. [7] Более подробная версия доказательства будет опубликована в 1826 году. [3]

Доказательство того, что уравнения общей пятой (и более высокой степени) неразрешимы с помощью радикалов, не решило полностью вопрос, поскольку теорема Абеля – Руффини не дает необходимых и достаточных условий для точного определения того, какие уравнения пятой степени (и выше) неразрешимы с помощью радикалов. Абель работал над полной характеристикой, когда умер в 1829 году. [14]

В 1963 г. Владимир Арнольд обнаружил топологическое доказательство теоремы Абеля – Руффини, [17] [18] [19] который послужил отправной точкой для топологическая теория Галуа. [20]

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема Абеля. Если степенной ряд

сходится при некотором то он сходится абсолютно при всех значениях для которых

Наоборот, если ряд (6.3) расходится при то он расходится при всех значениях для которых

Доказательство. Предположим сначала, что числовой ряд

сходится. В этом случае, как было установлено ранее (см. § 6 главы 2)

Тем более, члены этого ряда ограничены, т. е. найдется такое К, что при любом номере

Пусть теперь (тем самым мы предполагаем, что Тогда

Это значит, что при члены ряда

начиная с некоторого места, становятся меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

в которой знаменатель меньше единицы. Так как такая прогрессия сходится, ряд (6.4) также должен сходиться. Но это означает, что ряд

Предположим теперь, что ряд

расходится. Будем доказывать вторую часть теоремы от противного. Возьмем некоторое для которого и допустим, что ряд

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, согласно первой части теоремы, должен сходиться И ряд (6.5), что противоречит предположенному.

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁¹0 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k— некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4;0).

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁¹0 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k— некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x

По признаку Даламбера: .

По признаку Коши:

1.Если , то можно убедиться, что степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .

2.Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х₁ , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

3.Интервал сходимости степенного ряда находится из неравенства ; имеет вид .

4.Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредствено применяя признак Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Пример. Найти область сходимости ряда

Ряд абсолютно сходится, если . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При х=-1 имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При х=1 имеем ряд , который тоже сходится.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1;1].

Пример. Найти область сходимости ряда .

При х=-4 имеем ряд сходится по признаку Лейбница.

При х=0 имеем расходящийся ряд .

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4;0).

Чаще всего на практике используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.17 Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем очень важную для всей теории степенных рядов теорему.

ТЕОРЕМА 12.1.12 (ТЕОРЕМА Абеля).

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении x, для которого ; если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого .

Доказательство. По условию теоремы числовой ряд

сходится, значит при , а это значит, что , что все члены ряда по абсолютной величине меньше . Запишем ряд (12.1.38) в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

Члены ряда (12.1.40) меньше соответствующих членов ряда

Ряд (12.1.41) при представляет геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. По признаку сравнения числовых рядов из сходимости ряда (12.1.41) следует сходимость ряда (12.1.40).

Из сходимости ряда (12.1.40) следует абсолютная сходимость ряда (12.1.39), а следовательно, и ряда (12.1.37). Значит, при ряд (12.1.37) сходится абсолютно.

2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть в некоторой точке ряд (12.1.37) расходится. Тогда он будет расходиться и в любой точке , удовлетворяющей условию . Действительно, если бы в какой-либо точке , удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу доказанного он должен был бы сходиться и в точке , так как , что противоречит условию. Следовательно, ряд расходится и в точке x. Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля приводит нас к следующему утверждению.

Существует такое неотрицательное , что при ряд сходится, а при или расходится (поведение ряда при подлежит дальнейшему анализу). На самом деле: пусть для всех степенной ряд сходится, а при расходится.

Выберем , если при степенной ряд сходится, тогда он будет сходиться при всех (по теореме Абеля).

Выберем ; пусть при ряд расходится, тогда по теореме Абеля ряд будет расходиться при всех .

Выбирая последовательно , получим такое , что при всех ряд будет сходиться, а при расходится.

Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда.

ТЕОРЕМА 12.1.13 Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.18 Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от до , что для всякой точки , лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек , лежащих вне его, ряд расходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.

Содержание

Подробности

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы состоит из доказательства двух фактов.

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -ной степени при не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать закрытую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение имеет корень +\sqrt[5]+\sqrt[5]+\sqrt[5]» width=»» height=»» />
.

Закрытые формулы для степеней меньше пятой

История

Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Немногим позже развившаяся теория Галуа позволила сформулировать современное изложение доказательства.

Разрешимые типы уравнений

Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них: