Корень равен корню как решить

Как решать иррациональные уравнения. Примеры.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 — 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 — истинно:
При x₂ = -2- истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x — 1 — 8= x 3 — 1 + 4+ 4x;
=0;
x₁=1; x₂=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x₂=0 лишний корень.
Ответ: x₁=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 — х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 — 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂ = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения•= 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение-= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 — 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x — 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 — 40x + 25 = 9(x 2 — Зх + 3), или

7x 2 — 13x — 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ =- не удовлетворяет.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x 2 — 6x ++ 2 = 0.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y 2 + y — 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = -. Второй корень не удовлетворяет условию y0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x 2 — 3x + 6 = 4;
x 2 -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Пример 8. Решить уравнение+=

Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t 2 — 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t₁ = 2 t₂ =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 — 2x = 8x — 8; x₁ = 2.

Аналогично, решив (**), находим x₂ =.

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][f n (x) = g n (x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Иррациональные уравнения

Уравнения, в которых есть арифметические корни или степени с дробным показателем от выражений, зависящих от переменной \(x\), называются иррациональными. Это одни из самых неприятных уравнений в школьном курсе математики. Но бояться их не стоит, просто нужно внимательно следить, чтобы в процессе решения не появились посторонние корни.

Как решать такие уравнения, и откуда берутся посторонние корни, мы разберем в этом уроке.

Нам понадобятся уверенные знания по темам:

, квадратные и рациональные уравнения; и корень степени \(n\);
• ОДЗ;

Для начала на примерах разберемся, какие уравнения называются рациональными, а какие иррациональными:

\(x^2+4x-5=0\) — это обыкновенное квадратное уравнение, в нем нет никаких корней и дробных степеней, значит это уравнение рациональное;

\(\frac-\frac<4x^2>=1\) — здесь тоже нет ни корней, ни дробных степеней: уравнение рациональное;

\(\sqrt+x=27\) — а здесь есть арифметический квадратный корень \(\sqrt\), поэтому это уравнение будет иррациональным;

\(x^<\frac<1><3>>+3=10\) — так как в уравнении есть дробная степень \(x^<\frac<1><3>>\), то это уравнение тоже будет иррациональным;

\(\frac<1><\sqrt[3]>+2x=19\) — иррациональное уравнение, так как есть корень третьей степени \(\sqrt[3]\).

Существует несколько основных типов иррациональных уравнений. Начнем с самого простого.

Иррациональные уравнения и неравенства

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

Однако подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть

Итак, мы получили, что 2 ⩽ х < 11. Напомним, что традиционно решения нер-в записывают с помощью промежутков. Поэтому двойное нер-во 2 ⩽ х < 11 мы заменим на равносильную ему запись х∈[2; 11).

Пример. Решите нер-во

Решение. Возведем нер-во в четвертую степень:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

Получили неравенство второй степени, такие мы уже решать умеем. Напомним, что сначала надо решить ур-ние

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

7 – х 3 < 1 – 3x + 3x 2 – х 3

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

2х – 5 < 16 – 8х + х 2

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не «<», то есть оно имеет вид

Его тоже можно решить аналитически, однако мы для простоты рассмотрим только графическое решение.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Построим графики обеих частей:

Видно, что в какой-то точке графики пересекаются, после чего график корня будет лежать выше прямой у = 2 – х. Осталось найти точное значение точки, для чего можно составить ур-ние:

Корни квадратного ур-ния найдем через дискриминант:

Мы убедились, что иррациональные ур-ния и нер-ва являются довольно сложными. Для разных задач приходится использовать разные, не всегда стандартные методы решений. Зачем же их вообще надо решать? Оказывается, они часто возникают при геометрических расчетах. В частности, уравнение, описывающее зависимость расстояния между двумя точками от их координат, является иррациональным. Поэтому при решении многих физических задач, связанных с движением объектов в пространстве, возникает необходимость решать иррациональные ур-ния.

Также важно напомнить, что для поступления в ВУЗ по окончании 11 класса школьники сдают ЕГЭ. В задачах 13 и 15 очень попадаются именно иррациональные ур-ния и нер-ва. Поэтому, если вы желаете в будущем получить высшее образование по экономической (менеджер, аналитик, брокер, банкир), технической (инженер, программист) и тем более физико-математической специальности, то начинайте тренироваться уже сейчас!

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение: как решать, как проверять ответы на «вшивость», как справляться с несколькими корнями – обо всем расскажу в статье.

>Явное и неявное представление дроби

>Особенность иррациональных уравнений

>4 шага для решения иррационального уравнения

>Корень равен числу

>Уравнение с двумя корнями – и его единственный капкан

>Произведение корня и функции

>Одно из самых сложных уравнений школьной программы

>Еще 2 подковырки иррациональных уравнений

>Квадрат – не панацея. Когда НЕЛЬЗЯ решить через возведение?

Давайте сначала введем определение иррационального уравнения.

Опр: Иррациональные уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную в корне или в дробной степени. Не важно какой степени – главное его наличие.

Явное и неявное представление дроби

Кстати, вы же помните, что корень – это просто представление дробной степени? Например, квадратный корень – это степень 1/2.
А кубический корень – это степень 1/3 .

Посмотрите на пример. Тут показано разное представление одной и той же степени.

Следовательно, уравнения с переменными в дробных степенях также являются иррациональными.

Таким образом, можно разделить иррациональные уравнения на 2 вида – по принципу написания степени: с корнем и с дробью в степени.

1. Явный вид <корень виден>:

Особенность иррациональных уравнений

На математическом пути школьника есть несколько главных преград. Все они связаны с ОДЗ.

Главные принципы:

Первый – делить на ноль нельзя.
Второй – подкоренное выражения не может быть отрицательным (при условии, что корень четной степени: квадратный, 4 степени, 6-ой…).
Третий – узнаете в статье про логарифмы.

Подкоренное выражение не может быть отрицательным

f(x) ⩾ 0

Еще раз оговорюсь, что «неотрицательность» распространяется только на корни четной степени. Кубический корень крутите, как хотите – ему все равно.

«4 шага» – решат абсолютно любое иррациональное уравнение

Решение любого иррационального уравнения включает в себя 4 шага:

1) Выписывание и решение ОДЗ

2) Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень (квадратный корень возводим во 2 степень, кубический – в 3, и т.д.).

3) Решение получившегося рационального уравнения (мы избавились от корней, а значит, можем решать уравнение привычным способом).

4) Проверка корней, сверившись с ОДЗ (Вот это самый важный момент. Большинство школьников останавливается на предыдущем этапе – ох, уж эта безответственность к существованию корней!)

Есть 2 способа проверки корней:

– Подстановка корней в исходное уравнение (Первый метод проверки корней: старая добрая подстановочка. Получившиеся корни подставить в исходное уравнение и посмотреть: не появится ли отрицательное число под корнем).

– Проверка корней по ОДЗ (Для тех, кто вышел на новый уровень в математике. Подходит, если корней много: тогда не нужно просчитывать каждый корень по методу подстановки).

Если небеса послали вам корень НЕчетной степени – 4-ий шаг пропускаем. Вам повезло отделаться без проверки.

Корень равен числу

1. Корень равен числу

Самый часто встречающийся пример

Просто возведи обе части в квадрат

x – 3 = 9

x = 11

Ответ: 11

Повышаем уровень прокаченности в иррациональных уравнениях далее…

2. Уравнение с двумя корнями

Снова применяем технику «4 шага»

Сколько корней, столько и уравнений в ОДЗ

Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.

2) Возведем обе части во 2 степень

x + 6 = x 2

3) Решение получившегося рационального уравнения

x 2 – x – 6 = 0

По Т.Виетте (Если вы считали это уравнение через дискриминант – то обязательно просмотрите статью «Как решить квадратное уравнение – 6 трюков ». Я привел простые приемы решения квадратных уравнений – в школе такое не расскажут).

x₁ = 3 x₂ = –2

4) Проверка корней. Обратите внимание, что мы записали ОДЗ для обоих корней. Нужно, чтоб корни удовлетворялись ОДЗ обоих корней. Поэтому в начале решаем систему неравенств.

x₁ = 3 x₂ = –2 оба корня входят в ОДЗ

Ответ: –2 ; 3.

Особенность уравнений с двумя квадратными корнями – в развернутом ОДЗ. Несколько ОДЗ должны быть объединены.

А теперь переходим к правилу, продолжение которого знает всего 10% школьников. А ведь именно в концовке зарыт ключик правильного решения.

Произведение корня и функции

Давайте вспомним золотое правило: «Если произведение двух множителей равно нулю, то каждый из множителей равен нулю и оба они должны существовать»

Первая часть правила понятна: нужно приравнять оба множителя к нулю и найти корни – вуаля, уравнение решено.

Так было раньше в светлом прошлом без ограничений ОДЗ. Теперь нужно считаться еще и с существованием множителей – о чем и говорит вторая часть правила.

В случае с иррациональными уравнениями вы должны позаботиться о неотрицательности выражения, стоящего под корнем.

Теперь разберем как в реальных условиях выглядит решение подобного примера!

А теперь перейдем к одному из самых опасных видов уравнений в школьной программе.

Одно из самых сложных уравнений– Корень равен функции

Одно из самых сложных уравнений. Его опасность лежит опять-таки в ОДЗ.

Чтоб научиться его решать – важно понять, что не только подкоренное выражение неотрицательно. Но и то, чему равен корень не может быть отрицательным.

Раскрывается полное ОДЗ корня

Помните, уравнения «корень равен числу»? Корень четной степени никогда не приравнивался к отрицательному значению. Потому что так не бывает в этом мире.

Вот и с этими уравнениями также – только условие неотрицательности нужно прописать ручками в ОДЗ.

Давайте посмотрим на примере:

1) Запишем и решим ОДЗ примера – сделаем самое сложное сначала

2) Возведем обе части в квадрат

3) Решим уравнение

Если б не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень.

4) Выберем корни подходящие в ОДЗ

Если бы мы не записали ОДЗ по правой части, то пропустили бы посторонний корень

Осталось всего пару важных нюансов – и вас можно будет назвать Мастером в области решения иррациональных уравнений!

Еще 2 подковырки иррациональных уравнений

Теперь пришло время перестать считать и немножко включить воображение.
Оно может помочь не только на литературе, но и в математике.

Расслабьтесь с ОДЗ

Надеюсь, что я достаточно настращал вас ужасными несуществующими корнями (которые проникают в личное пространство корня и делают его отрицательным). Теперь ОДЗ наконец станет вашим другом?

Но все-таки бывают случаи, когда ОДЗ можно не выписывать. Это такие примеры, где выражение будет неотрицательным при любом значении переменных. Какой бы х вы не подставили – все равно выражение останется положительным или равным нулю.

Разберем на примере.

Когда очевидно, что подкоренное выражение всегда >= 0, то ОДЗ этого корня можно ны выписывать

в данных примерах нет смысла записывать ОДЗ: функции
1) (x 2 + 6)
2) (x 2 + x + 6) — всегда положительны.

В случае 1. Квадрат + положительное число (попробуйте подставить хоть даже -120 миллионов – все равно ответ будет положительным).

В случае 2. Отрицательный дискриминант. Дискриминант говорит нам, что график этой квадратичной функции – парабола, которая существует, только над осью Ох: значит, вообще не принимает отрицательные значения.

(Если вы не в курсе, почему отрицательный дискриминант стал причиной приведенных рассуждений – читайте статью «6 простых трюков как решить квадратное уравнение ». В ней все доходчиво написано, да еще и узнаете пару способов быстрого решения квадратного уравнения).

Вы поняли: можно сначала окинуть взором подкоренное выражение – мало ли оно всегда неотрицательное. Вам меньше трудов – ОДЗ не надо писать.

Уже попадались уравнения, которые НЕ стоит решать возведением? О них далее…

Квадрат – не панацея. Когда НЕЛЬЗЯ решить через возведение?

Некоторые уравнения НЕ решаются простым возведением в лоб. Если их поставить в квадрат – получаются слишком сложные выражения (и снова с корнями!).

Что делать в таких случаях – немного усовершенствовать.

Посмотрите не примеры:

Вы же помните, что возводим в квадрат мы по формуле квадрата разности/суммы, а не по вандальным способом «школьника, который НЕ выучил правила сокращенного умножения»?))

Возведение в квадрат применяется ко всей части уравнения.

И если потребуется, по формулам квадрата суммы и разности.

И поверьте мне, я не зря заостряю на этом внимание

Как делают и как не надо делать….

Это была типичная ошибка новичка. Но в любом случае сразу возводить не стоит

Подробно о том, как просто и правильно возводить в квадрат и решать квадратные уравнения рассказываю в статье: 6 трюков — как решить квадратное уравнение без Дискриминанта.

Сразу возводить в квадрат нет никакого смысла, корни останутся, а пример усложнится

Стоит разбить корни и числа по разным частям уравнения и после возводить в квадрат!

ОДЗ в данных примерах опущено для простоты разбора

Двойное возведение в квадрат

И все-таки бывают случаи, когда приходится пару раз возводить в квадрат. Но сначала – неизменно нужно раскинуть уравнение по две стороны от равно.

Виды уравнений для возведения 2 раза и более

1. Матрешечный корень

Дважды (а то и трижды) придется возводить в степень уравнения с матрешечными корнями (под внешним корнем спрятался внутренний).

Пример решения уравнения

Заметили, что прописали ОДЗ для внутреннего и внешнего корня?

Кстати, корни могут быть разной степени. Например, внешний в степени 1/3, а внутренний — 1/8. Подход остается неизменным: сверху вниз снимайте скорлупу корней возведением в соответствующую степень (в нашем примере сначала возведите в 3 степень (избавьтесь от внешнего корня), а потов в 8.

Далее разберемся с уравнениями, в которых ну просто полно корней.

2. Иррациональное уравнение, в котором корней как грязи

Придется несколько раз возводить уравнения в которых слишком много корней. Еще они бывают намиксованы со свободными числами.

Действуйте по уже знакомому вам принципу: разнесите члены по разные стороны от равно. Постарайтесь сделать так, чтоб одинокий корень остался в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.

Пример решения уравнения

Сделайте так: корень остается в одной части уравнения, а оставшиеся свободные от «иррациональности» члены в другой.

Уравнения с несколькими корнями противные (тратите время на последовательное возведение), но несложные. Следуйте инструкции — это самый быстрый и простой метод.

Я постарался не только показать вам шаблоны-способы решения. Но и прояснить логику как решать иррациональное уравнение.

С ним нужно быть аккуратным (ОДЗ), в остальном иррациональное уравнение не такое уж неприступное, как может показаться.

Надеюсь, статья помогла вам разобраться еще в одной непростой теме математики: «Иррациональное уравнение как решить».

Заинтересованы в личном обучении со мной – пишите в сообщения! Я с удовольствием проведу первое занятие бесплатно.

До встречи,
Ваш Михаил