Как умножать логарифмы с разными основаниями и показателями

Умножение логарифмов

1 случай. Умножение логарифмов Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь: Что и требовалось доказать. например.

2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также можно в некоторых случаях упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода Умножение логарифмов

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить : Например, т.е т. е. т. е. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Понятие логарифма. Примеры с решением

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 1:

Найдите число Умножение логарифмов a) б) Решение: а) Поскольку то

б) Поскольку Умножение логарифмов то тогда

Пример 2:

Вычислите: а) Умножение логарифмов б) Решение: а) б)

Свойства логарифмов

Логарифм произведения и сумма логарифмов Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Умножение логарифмов Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму произведения этих чисел.

Пример 3:

Вычислите: a) Умножение логарифмов б) в) Решение: а) б) в)

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 4:

Найдите значение выражения: Умножение логарифмов Решение:

Умножение логарифмов

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел.

Умножение логарифмов Разность логарифмов двух чисел равен логарифму частного.

Пример 5:

Вычислите: Умножение логарифмов Решение:

Пример 6:

Вычислите: Умножение логарифмов Решение:

Логарифм степени и произведение числа и логарифма

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени и логарифма этого числа. Умножение логарифмов

Пример 7:

Вычислите: а) Умножение логарифмов б) в) г) д)

Решение: а) Умножение логарифмов б) в) г) д)

Пример 8:

Упростите: a) Умножение логарифмов б) Решение: а) б)

Пример 9:

Вычислите: а) Умножение логарифмов б) в) Решение: а) б) в)

Умножение логарифмов

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Умножение логарифмов

$\log _{a} b\cdot \log _{b} a=1,\; a,\, b>0,\; a,\, b\ne 1$

1 случай. .

Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь:

$\log _{a} b\cdot \log _{b} a=\log _{a} b\cdot \frac{1}{\log _{a} b} =1$

Что и требовалось доказать.

$\log _{2} 5\cdot \log _{5} 2=\log _{2} 5\cdot \frac{1}{\log _{2} 5} =1$

Например. .

2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также можно в некоторых случаях упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода

$\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} ,\; a,\, b,\, c>0;\; a,\, c\ne 1$

Примеры решения задач

Задание	Найти значение выражения $\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9$ .
Решение	Приведем все логарифмы к одному основанию, например, 3:

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9=\log _{3} 5\cdot \frac{\log _{3} 7}{\log _{3} 5} \cdot \frac{\log _{3} 8}{\log _{3} 7} \cdot \frac{\log _{3} 9}{\log _{3} 8}$

После сокращения будем иметь:

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9=\log _{3} 9=2$

3 случай. Произведение логарифмов с одинаковыми основаниями также можно иногда преобразовать, основываясь на свойствах логарифма.

Как умножать логарифмы с разными основаниями и показателями

Tumenbayev Offline Студенты
Aldi_styles Offline Друзья сайта

Раз вы так пишите тогда я так напишк

Altuwa_125 Offline Ученики
Vershina Offline Студенты
Vershina Offline Студенты

log_ab=c (lg1000 — это то же самое что и log₁₀1000=3)

c в степени a равно b, поэтому чем больше b, тем больше c.
например lg10=1, lg100=2 и тд.

Получается значение log₁₀6 без знака минуса больше log₁₀4, но так как мы сравниваем оба варианта с отрицательными знаками, тогда -log₁₀6 будет меньше -log₁₀4

можно решать абсолютно любые логарифмы на инженерном калькуляторе.

давайте просто приведем к новому основанию:

Теперь стало проще проверить на калькуляторе.

lg(5/2)+lg(7/3)=lg(5*7/3*2)=lg(35/6) или log₆35

приведением логарифмов к новому основанию, для этого воспользуйтесь формулой:

видимого решения нет с курса школы.

log₇4 представим как log₇2² = 2*log₇2

А в вашем случае тут либо высшая математика, либо просто так написать)

откуда вышло? не получается у меня 2*log₂7*(log₂2/log₂7) .

log₂7 сократим, от log₂2 останется 1, 2*1=2

Перенесем log₅x за знак равно:
log₃x=9*(log₅3 / log₅x)

Соберем по формуле, которая используется для получения нового основания:
log_cb/log_ca=log_ab
log₃x = 9*log_x3

Снова по этой же формуле получим новое основание:
log₃x = 9*(log₃3 / log₃x)

Как умножать логарифмы

$\log _{a} b\cdot \log _{b} a=1,\; a,\, b>0,\; a,\, b\ne 1$

Доказательство. Используя частный случай формулы перехода к новому основанию (свойство 11), будем иметь:

$\log _{a} b\cdot \log _{b} a=\log _{a} b\cdot \frac{1}{\log _{a} b} =1$

Что и требовалось доказать.

$\log _{2} 5\cdot \log _{5} 2=\log _{2} 5\cdot \frac{1}{\log _{2} 5} =1$

$\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} ,\; a,\, b,\, c>0;\; a,\, c\ne 1$

Примеры решения задач

Задание	Найти значение выражения $\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9$ .
Решение	Приведем все логарифмы к одному основанию, например, 3:

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9=\log _{3} 5\cdot \frac{\log _{3} 7}{\log _{3} 5} \cdot \frac{\log _{3} 8}{\log _{3} 7} \cdot \frac{\log _{3} 9}{\log _{3} 8}$

После сокращения будем иметь:

$\log _{3} 5\cdot \log _{5} 7\cdot \log _{7} 8\cdot \log _{8} 9=\log _{3} 9=2$

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log _a x и log _a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

log _a x + log _a y = log _a ( x · y );
log _a x − log _a y = log _a ( x : y ).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

log _a x n = n · log _a x ;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49 6 = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

Преобразование частного двух логарифмов

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log _a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

[Подпись к рисунку]

В частности, если положить c = x , получим:

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2 4 = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5 2 = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

n = log _a a n

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ ��

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

log _a a = 1 — это . Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
log _a 1 = 0 — это . Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Умножение логарифмов

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить : Например, т.е т. е. т. е. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Понятие логарифма. Примеры с решением

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 1:

Найдите число Умножение логарифмов a) б) Решение: а) Поскольку то

б) Поскольку Умножение логарифмов то тогда

Пример 2:

Вычислите: а) Умножение логарифмов б) Решение: а) б)

Свойства логарифмов

Пример 3:

Вычислите: a) Умножение логарифмов б) в) Решение: а) б) в)

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 4:

Найдите значение выражения: Умножение логарифмов Решение:

Умножение логарифмов

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел.

Умножение логарифмов Разность логарифмов двух чисел равен логарифму частного.

Пример 5:

Вычислите: Умножение логарифмов Решение:

Пример 6:

Вычислите: Умножение логарифмов Решение:

Логарифм степени и произведение числа и логарифма

Пример 7:

Вычислите: а) Умножение логарифмов б) в) г) д)

Решение: а) Умножение логарифмов б) в) г) д)

Пример 8:

Упростите: a) Умножение логарифмов б) Решение: а) б)

Пример 9:

Вычислите: а) Умножение логарифмов б) в) Решение: а) б) в)

Умножение логарифмов

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Как умножать логарифмы с разными основаниями и показателями

Умножение логарифмов

Понятие логарифма. Примеры с решением

Пример 1:

Пример 2:

Свойства логарифмов

Пример 3:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Логарифм степени и произведение числа и логарифма

Пример 7:

Пример 8:

Пример 9:

Умножение логарифмов

Примеры решения задач

Как умножать логарифмы с разными основаниями и показателями

Как умножать логарифмы

Примеры решения задач

Основные свойства логарифмов

Сложение и вычитание логарифмов

Вынесение показателя степени из логарифма

Переход к новому основанию

Основное логарифмическое тождество

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

Умножение логарифмов

Понятие логарифма. Примеры с решением

Пример 1:

Пример 2:

Свойства логарифмов

Пример 3:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Логарифм степени и произведение числа и логарифма

Пример 7:

Пример 8:

Пример 9:

Добавить комментарий Отменить ответ