Как решать уравнения с делением на x

Как решать линейные уравнения с делением

Основной метод решения линейных уравнений — разделить каждую часть уравнения на одно и то же число. Многие формулы и уравнения включают коэффициент или множитель с переменной. Чтобы избавиться от множителя и решить уравнение, делите.

пример 1: Найдите значение Икс в уравнении 20Икс= 170.

Определите множитель переменной и разделите на него обе части.

Поскольку уравнение включает умножение на 20Икс, отмените умножение в уравнении, выполнив обратное умножение, который дивисион.

Разделите каждую сторону на 20.

Уменьшите обе части знака равенства.

20Икс ÷ 20 = Икс

Eпример 2: Для большого собрания нужно купить 300 пончиков, но сколько это дюжин пончиков?

Позволять d представляют собой необходимое вам количество дюжины пончиков. В дюжине 12 пончиков, так что 12d = 300. В двенадцать раз количество пончиков, которое вам нужно, должно равняться 300.

Уравнение: деление

“Уравнение с делением” — так называется тема, которую команда WoM Вам сегодня объяснит. Вспомним определение уравнения, компоненты деления и узнаем, как находить значение переменной в уравнении с делением.

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, которое обозначается буквой. Эта буква носит название “переменная”.
Решить уравнение — найти значение неизвестного числа, скрытого под переменной.

Вспомним, из каких компонентов состоит пример на деление:

10 : 2 = 5

10 — делимое;
2 — делитель;
5 — частное.

А теперь посмотрим, как может выглядеть уравнение с делением:

В данном уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, надо знать правило:

Если мы хотим найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Делимое — 14, частное — 7. Вычисляем.

Следующее действие — обязательная проверка. Вместо переменной ставим найденное число.

Всё сходится, значит, решение выполнено верно.

А вот несколько иной пример:

Здесь под переменной скрывается делимое. Для его нахождения правило, которым мы руководствовались в первом примере, не подойдёт. Потому что…

Для нахождения неизвестного делимого необходимо частное умножить на делитель.

Решение выполнено верно.

Чтобы закрепить знания по теме “Уравнение с делением”, предлагаем Вам решить следующие уравнения. Не забудьте про проверку!

х : 5 = 2 9 : х = 3
х : 6 = 3 21 : х = 7

Решить уравнения на умножение и деление Ваш ребёнок может в онлайн-школе математики World of Math. Педагоги с многолетним стажем, интерактивные уроки, подход к каждому ученику и заинтересованность в его прогрессе — положительные отзывы и результаты наших школьников подтверждают успешность принципов работы WoM.

Если Вы ещё не с нами — присоединяйтесь, как это сделали более 1400 учеников! Первый урок абсолютно бесплатный. Записаться на него можно здесь.

8. Базовая математика Читать 0 мин.

Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа. Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.

1 способ. Метод перебора вариантов.

Решим уравнение $ (x-2)(y+3)=4 $ в целых числах.

Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:

Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).

Решим уравнение 10х + 10у = 2019 в целых числах.

Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

Пусть нужно решить уравнение в целых числах: $ 5x+4y=22. $

Методом перебора находим решение $ x_1=2;\;y_1=3. $

Получаем систему уравнений:

Из полученного равенства видно, что число (х – 2) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 3) делится на 5, т.е. у – 3 = 5n, где n какое-нибудь целое число.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

Ответ: $ \ (2-4n;\;3=5n),\; где\; n \in Z. $

2 способ. Алгоритм Евклида

Пусть нужно решить уравнение в целых числах: $ \ 5x+7y=6. $

Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:

НОД (5, 7) = НОД (5, 7-5) = НОД (5, 2) = НОД (5 — 2∙2, 2) = НОД (1, 2) = 1

Запишем этот процесс в обратном порядке:

Тогда $ <\ x=-24 \;и \; y=18>$ является решением уравнения.

Общее решение записывается в виде:

Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.

Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.

Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.

Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).

Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.

Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.

Рассмотрим остатки от деления на 4.

Z	$ \ 5^ $	Остаток при делении на 4
1	5	1
2	25	1
3	125	1
4	625	1

Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.

Теперь левая часть: будет делиться на 4 без остатка.

Рассмотрим остатки от деления на 4 числа $ \ 3^ $

Z	$ \ 3^ $	Остаток при делении на 4
1	3	3
2	9	1
3	27	3
4	81	1
5	243	3

И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.

Отсюда делаем вывод, что х — число чётное, значит, мы можем представить его как х = 2n.

Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.

Z	$ \ 5^ $	Остаток при делении на 3
1	5	2
2	25	1
3	125	2
4	625	1

И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.

Рассмотрим левую часть. Число $ \ 3^ $ даёт остаток 0 при делении на 3.

Рассмотрим остатки от деления на 3 числа $ \ 4^ $

Z	$ \ 4^ $	Остаток при делении на 3
1	4	1
2	16	1
3	64	1
4	256	1
5	1024	1

Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.

Вернёмся к нашему уравнению $ \ 3^+4^=5^ $

Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z — чётные числа. Тогда х = 2n, z = 2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:

Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:

$ \ (5^-3^)(5^+3^)=2^ <2y>$ . Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:

Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,

$ \ a\cdot b=3^ <2n>$ , это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.

Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.

Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.

Рассмотрим разность скобок:

$ \ 5^+2^-(5^-2^)=2\cdot 2^ $ — это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 3 2n . Так как $ \ 5^+2^> 1 $ ,

$ \ 5^-2^=1,5^+2^)=3^ <2n>$ Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что $ \ 5^+2^=1 $

m	$ \ 5^ $	y	$ \ 2^ $
0	1	0	1
1	5	1	2
2	25	2	4
3	125	3	8

Эта таблица показывает, что $ \ 5^+2^=1 $ только в одном случае при m = 1, y = 2. При их увеличении разница между и будет всё больше, поэтому это единственное решение.

Основные принципы решения уравнений

В этом уроке мы рассмотрим, что такое уравнения, для чего они нужны, основные методы решения уравнений в 4 и 5 классе.

Простейшие уравнения

Ранее вы могли проходить в школе такого рода примеры:

Как вы знаете, такие выражения называются уравнениями, а вместо кружка используется буква x или любая другая.

5 + x = 11 – это уравнение. Уравнением оно называется потому что в нём левая часть равняется правой. Если условие равенства не выполняется, значит уравнение записано неверно. Буква x называется неизвестным, или корнем уравнения. Целью решения уравнения является нахождение неизвестного.

Как вы уже знаете, для того, чтобы решить уравнение, надо x оставить в одной части, а все числа перенести в другую часть с противоположным знаком.

То есть если у нас

Другой пример:

y + 21 = 37
y = 37 — 21
y = 16

Обратите внимание, что я специально здесь использовал вместо x букву y – для того, чтобы подчеркнуть, что в уравнении неизвестное может обозначаться не только x, но и любой другой буквой или даже комбинацией букв.

Если же мы имеем уравнение вот такого вида:

то мы можем записать, что
26 – 18 = x – здесь, как вы видите, мы 18 перенесли в левую часть со знаком минус, а x – в правую со знаком плюс.

При этом мы можем поменять левую и правую часть местами, от этого суть уравнения не поменяется. То есть мы можем записать, что

Для проверки решения уравнения надо найденное неизвестное подставить в исходное уравнение. Т.е. в нашем случае это

26 – 8 = 18
18 = 18 – решение верное.

z – 7 = 14
z = 14 + 7
z = 21

21 – 7 = 14
14 = 14 – решение верное

Уравнения с делением и умножением

Запишем равенство
6 = 6

Если мы умножим обе части равенства на одно и то же число, то оно останется верным
6∙3 = 6∙3

Если мы разделим обе части равенства на одно и то же число, то оно тоже останется верным
6:2 = 6:2

Уравнение c множителями

Как уже говорилось ранее, мы можем разделить правую и левую часть на одно и то же число, и равенство сохранится. Чтобы найти x, это уравнение нужно разделить на 5.
Для того, чтобы разделить на 5 выражение 5∙x мы можем записать

Таким образом, из начального уравнения 5∙x = 15 получим:

Можно сказать по другому:

Здесь 5 и x – это множители, а 15 – произведение.

То есть x = 15:5 = 3

Проверка:
5∙3 = 15
15 = 15

Пример:
x∙4 = 32 (x∙4 – это то же самое, что 4∙x)
x = 32:4
x = 8

Уравнение с делителями

Здесь z – делимое, 4 – делитель, 16 – частное. Для того, чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель. Ещё раз обращаю ваше внимание, что неизвестное может обозначаться любой буквой, не обязательно только x.

В правой части у нас остался один z, потому что ранее это был z в 4 раза меньший, и раз мы его умножили на 4, то он стал в 4 раза больше, т.е. полным z.

Проверка
64:4 = 16
16 = 16

Пример
120:x = 30

120 = 30∙x – мы умножили на x левую и правую часть, в результате чего в левой части он исчез, а в правой части он появился. Левая часть – это было число 120, уменьшенное в x раз (так как деление – это уменьшение числа в заданное число раз). Соответственно, раз мы левую часть умножаем на тот же x, то она перестаёт быть числом 120, уменьшенным в x раз, и станет просто числом 120.

Таким образом, мы перешли к уже известным нам уравнениям с множителями
Мы можем переписать равенство как

30∙x = 120
x = 120:30
x = 4

Про это же уравнение можно сказать следующее:

120:x = 30
120 – делимое, x – делитель, 30 — частное

Пример:
96:x = 6
96 = 6x
x = 96:6 – тут мы пропустили шаг перестановки частей равенства 6x = 96 – его записывать необязательно
x = 16

Усложнённые уравнения

Пример:
3x + x = 24
4x = 24
x = 24:4
x = 6

Проверка:
3x + x = 24
3∙6 + 6 = 24
18 + 6 = 24
24 = 24

11x – 3x + 5x = 65
13x = 65
x = 65:13
x = 5

11∙5 – 3∙5 + 5∙5 = 65
55 – 15 + 25 = 65
65 = 65

Раскрытие скобок

Предположим, у нас есть выражение

Мы можем записать его как
9∙6

так как выражение в скобках 10-4 равно 6. 9∙6 = 54

Или же мы можем раскрыть скобки.

9∙(10 — 4) = 9∙10 – 9∙4 = 90 – 36 = 54

Аналогично, если в скобках будет больше членов и с разными знаками.

(11 + 2 – 5)∙4 = 4∙8 = 32

(11 + 2 – 5)∙4 = 4∙11 + 4∙2 – 4∙5 = 44 + 8 – 20 = 32 —
как мы уже говорили, множитель может стоять и после скобок, от этого правила раскрытия скобок не меняются.

Если в скобках вместо числа будет стоять неизвестное, то скобки раскрываются аналогично.

12∙(8x + 2x – 5) = 12∙8x + 12∙2x – 12∙5 = 96x + 24x – 60 = 120x — 60

У правой части мы видим множитель 4. В левой части множитель 16. Т.е. мы смело можем разделить обе части на 4, избавишись таким образом от множителя в правой части

4∙(x – 4) = x +2
4x – 16 = x + 2

далее переносим x в левую часть, а числа – в правую

4x – x = 16+2
3x = 18
x = 6

Проверка:
16∙(6 – 4) = 4∙(6+2)
16∙2 = 4∙8
32 = 32

Разделим обе части уравнения на 5

15 – x = 5∙(x-3)
15 – x = 5x – 15
15 + 15 = 5x + x
30 = 6x
x = 5

Проверка:
5∙(15 – 5) = 25∙(5 – 3)
5∙10 = 25∙2
50 = 50

Пример:
100:(x – 25) = 20

Точно так же, как мы решали ранее уравнение 120:x = 30 путём умножения обеих частей на делитель, т.е. на x, и получая 120 = 30x, это уравнение мы тоже решим, умножив обе части на делитель, т.е. на x-25

100 = 20(x-25)
100 = 20x – 500
100 + 500 = 20x
600 = 20x
x = 30

100:(30-25) = 20
100:5 = 20
20 = 20

(x – 4):6 = 16
x – 4 = 16∙6
x – 4 = 96
x = 96+4
x = 100