энциклопедия жизненных ответов
мы стараемся находить самые интересные вопросы и давать на них исчерпывающие ответы. заходите к нам почаще и вы всегда будете находить для себя что-нибудь новое и интересное.
темы вопросов
актуальные комментарии к ответам
Как разложить квадрат синуса, косинуса и тангенса?
Тригонометрические формулы снижения степени:
Эти формулы позволяют выразить квадрат хоть какой тригонометрической функции через косинус двойного угла.
Для более больших степеней есть возможность применять последующие формулы:
Sin2x Formula
Sin2x formula is among the very few important formulas of trigonometry used to solve various problems in mathematics. It is among the various double-angle formulas used in trigonometry. This formula is used to find the sine of the angle with a double value. Sin is among the primary trigonometric ratios that are given by taking the ratio of perpendicular to that of the hypotenuse in a right-angled triangle. The range of sin2x is [-1, 1].
Sine ratio is calculated by computing the ratio of the length of the opposing side of an angle divided by the length of the hypotenuse. It is denoted by the abbreviation sin.
If θ is the angle formed between the base and hypotenuse of a right-angled triangle then,
sin θ = Perpendicular/Hypotenuse
What is Sin2x?
Sin2x is a formula used in trigonometry to solve various mathematical, and other problems. It helps to simplify various trigonometric expressions involving double angles. Sin2x is expressed in different forms using various trigonometric functions. The most common formula of sin2x is, sin2x = 2 sinx cosx. It can also be expressed in terms of the tan function.
Sin2x Formula
Sin 2x is a double-angle identity in trigonometry. Because the sin function is the reciprocal of the cosecant function, it may alternatively be written sin2x = 1/cosec 2x. It is an important trigonometric identity that may be used for a wide range of trigonometric and integration problems. The value of sin 2x is repeated every π radians, that is, sin 2x = sin (2x + π). It has a much narrower graph than sin x. It’s a trigonometric function that calculates the sin function of a double angle. Various other trigonometric ratios are used along with this to solve mathematical problems.
sin 2x = 2 sin x cos x
Sin 2x Derivation Formula
The formula for sin 2x can be derived by using the sum angle formula for the sine function.
Using Trigonometric Identities, sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
In order to find sine for double angle, we must put x = y
Putting x = y we get,
sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x
sin 2x = sin x cos x + sin x cos x
sin 2x = 2 sin x cos x
This derives the formula for the double angle of the sine ratio.
Sin2x Formula in Terms of Tan
sin 2x can also be given in terms of the tan function. Let’s take a look at how Sin 2x is given in terms of tan x
sin 2x = 2 sin x cos x
Multiplying and dividing it by cos x.
sin 2x = (2 sin x cos 2 x)/(cos x)
sin 2x = 2 tan x × (1/sec 2 x)
sin 2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x)
Thus, the sin 2x formula in terms of tan is sin 2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x).
Sin2x Formula in Terms of Cos
sin 2x can also be given in terms of cos function. Let’s take a look at how Sin 2x is given in terms of cos x
sin 2x = 2 sin x cos x …(1)
we know that sin x = √(1 – cos 2 x) using this in eq (1)
sin 2x = 2 √(1 – cos 2 x) × cos x
This is the required formula for Sin 2x in terms of Cos x.
Sin2x Formula in Terms of Sin
sin 2x can also be given in terms of sin function. Let’s take a look at how Sin 2x is given in terms of sin x
sin 2x = 2 sin x cos x …(1)
we know that cos x = √(1 – sin 2 x) using this in eq (1)
sin 2x = (2 sin x )× √(1 – sin 2 x)
This is the required formula for Sin 2x in terms of Sin x.
Sin 2 x
Sin 2 x formulas are used to solve complex mathematical problems, they are also used to simplify trigonometric identities. Two formulas for sin 2 x can be derived using the Pythagorean Theorem and the double angle formulas of the cosine function.
Sin 2 x Formula
For the derivation of the sin 2 x formula, we use the trigonometric identities sin 2 x + cos 2 x = 1 and the double angle formula of cosine function cos 2x = 1 – 2 sin 2 x. Using these identities, sin 2 x can be expressed in terms of cos 2 x and cos2x. Let us derive the formulas:
Sin 2 x Formula in Terms of Cos x
We know that, using trigonometric identities,
sin 2 x + cos 2 x = 1 using the equation and sending cos 2 x to the left-hand side which changes its sign we get,
Sin 2 x Formula in Terms of Cos 2x
We know that, using the double-angle formula,
cos 2x = 1 – 2sin 2 x using the equation and separating sin 2 x to one side we get,
sin 2 x = (1 – cos 2x) / 2
Therefore, the two basic formulas of sin 2 x are:
sin 2 x = (1 – cos 2x) / 2
sin 2x = 2 sin x cos x
sin 2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x)
sin 2 x = 1 – cos 2 x
sin 2 x = (1 – cos2x)/2
Solved Examples on Sin 2x Formula
Example 1. If sin x = 3/5, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, sin x = 3/5.
Clearly, cos x = 4/5.
Using the formula we get,
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 (3/5) (4/5)
= 24/25
Example 2. If cos x = 12/13, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, cos x = 12/13.
Clearly, sin x = 5/13.
Using the formula we get,
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 (5/13) (12/13)
Example 3. If tan x = 12/5, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, tan x = 12/5.
Using the formula we get,
sin2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x).
= 2 × (12/5) / <1 + (12/5) 2 >
= 120/169
Example 4. If cosec x = 17/8, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, cosec x = 17/8.
Clearly sin x = 8/17 and cos x = 15/17.
Using the formula we get,
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 (8/17) (15/17)
= 240/289
Example 5. If cot x = 15/8, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, cot x = 15/8
tan x = 1 / cot x = 1 / (15/8)
= 8 / 15
Using the formula we get,
sin2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x).
= 2 × (18 / 15) / <1 + (18 / 15) 2 >
= 240/289
Example 6. If cosec x = 13/12, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, cosec x = 13/12.
Clearly sin x = 12/13 and cos x = 5/13 (using pythagoras theorem)
Using the formula we get,
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 (12/13) (5/13)
= 120/169
Example 7. If sec x = 5/3, find the value of sin 2x using the formula.
Solution:
We have, sec x = 5/3.
Clearly cos x = 3/5 and sin x = 4/5 (using pythagoras theorem)
Using the formula we get,
sin 2x = 2 sin x cos x
= 2 (4/5) (3/5)
= 24/25
FAQs on Sin 2x Formula
Question 1: What is the differentiation of Sin 2x?
Answer:
The differentiation of sin 2x is 2cos 2x
Question 2: What is the integration of Sin2x?
Answer:
The integration of sin 2x is (-cos 2x) / 2
Question 3: What is the Sin 2x formula in terms of the tan function?
Answer:
Sin 2x formula in terms of the tan function is sin2x = (2tan x)/(1 + tan 2 x).
Как разложить sin2x и cos2x?
Для такого действия применимы формулы "двойного аргумента", — синус двойного угла и косинус двойного угла.
Эти основные формулы нужно просто запомнить.
Ну или держать под рукой справочник, если на память не полагаетесь.
Для большей наглядности и убедительности предлагаю рассмотреть парочку примеров под руководством учителя математики.
Урок на ЮТУБе — это выход, если на уроке в школе вы что-то недопоняли или просто пропустили.
Разложить sin2x и cos2x можно, применив множество синуса двойного угла и распределительный закон.
Если вы забыли, то это тригонометрические тождества — изучается в 9 и 10 классе.
Формулы для разложения следующие:
Можно использовать тригонометрические формулы для разложения sin(2x) и cos(2x):
cos(2x) = cos^2(x) — sin^2(x)
где sin(x) и cos(x) — это значения синуса и косинуса угла x.
Используя эти формулы, мы можем разложить sin^2(x) и cos^2(x) как:
sin^2(x) = (1 — cos(2x))/2
cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2
Теперь мы можем использовать эти разложения, чтобы выразить sin^2(2x) и cos^2(2x):
sin^2(2x) = sin^2(x)cos^2(x) = [(1 — cos(2x))/2][(1 + cos(2x))/2] = (1/4)(1 — cos^2(2x))
cos^2(2x) = [cos^2(x) — sin^2(x)]^2 = [(1 + cos(2x))/2 — (1 — cos(2x))/2]^2 = (1/4)(1 + cos^2(2x) — 2cos(2x))
Если вы хотите разложить sin2x и при этом осуществить расчет в котором будет как закон, который является распределительным, так и множественность синуса двойного угла, то должна применяться вот такая вот формула — "sin(2x)=2*sin(x)*co s(x)".
Для cos2x, при тех же принципах расчета, формула за счет которой можно его рассчитать является немного другой и в частности она выглядит вот так — "cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)=2*cos^2(x)-1=1-2*sin^2(x)".
cos2a, sin2a. Формулы двойного угла. Примеры на ЕГЭ
Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы двойного угла
Вычислим \(\cos\frac<5π><6>\) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем \(\frac<5π><6>\) на круге:
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac<5\sin98^°><\sin49^° \sin 41^°>\) .
Все аргументы разные и что с этим делать не понятно. Однако присмотревшись, замечаем, что \(98^°\)ровно в два раза больше \(49^°\). То есть, имеет смысл разложить синус в числителе по формуле двойного угла.
Одинаковые синусы можно сократить.
Теперь обратите внимание на то, что \(49^°=90^°-41^°\).
Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).
\((90^°-41^°)\) – это первая четверть, косинус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
\(90^°\)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию. \(\cos (90^°-41^°)=\sin41^°\)
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\sqrt<12>\cos^2\frac<5π><12>-\sqrt<3>\).
С первого взгляда не очевидно, что тут надо делать. Возможно, со второго тоже. И здесь нас выручит золотое правило решения задач по математике: «не знаешь, что делать — делай, что можешь». А тут точно можно преобразовать \(\sqrt<12>\).
\(\sqrt<12>=\sqrt<4\cdot 3>=2\sqrt<3>\).
Теперь можно вынести \(\sqrt<3>\) за скобки.
Вот теперь видно, что перед нами формула косинуса двойного угла.
Сокращаем \(2\) и \(12\).
Теперь применим к косинусу формулу приведения:
\((π-\frac<π><6>)\) – это вторая четверть, косинус в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;