Как построить график функции заданной параметрически

6. Построение графика функции, заданной параметрически

Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки.

Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции

• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций.

• Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных.

• Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси.

Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны.

Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.

6. 2. Асимптоты параметрического графика

• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы.

• Если , или , то -вертикальная асимптота.

• Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где

Если существует, то ищем :

Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .

6. 3. Точки перегиба

Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле

Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции

Пример 18. 21 Построить эскиз графика , .

Решение. Совокупная область определения: .

Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается.

На ось наносим точки , , (см. рис. 40):

Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси .

Построение графиков

Задание функции с помощью равенств и называют параметрическим, а вспомогательную величину — параметром. Построение графика функции, заданной параметрически, можно осуществлять следующим образом:

1. Определить массив .
2. Определить массивы и .
3. Построить график функции с помощью функции .

В качестве примера рассмотрим построение график эпициклоиды и астроиды.

Пример 4.12. Построить график эпициклоиды. Уравнение эпициклоиды в параметрической форме имеет вид , . В листинге 4.12 представлен текст программы для изображения графика эпициклоиды, а на рис. 4.13 — сам график.

Пример 4.13. Построить график астроиды.

Уравнение астроиды в параметрической форме имеет вид

Функция предназначена для построения гистограммы. Функция выводит элементы массива в виде гистограммы, в качестве массива выступает массив номеров элементов массива y. Функция выводит гистограмму элементов массива y в виде столбцов в позициях, определяемых массивом , элементы которого должны быть упорядочены в порядке возрастания.

Рассмотрим несколько примеров. Фрагмент y=[5; 6; 7; 8; 9; 8; 7; 6;4; 3]; bar(y); строит гистограмму, представленную на рис. 4.15.

Фрагмент exp(sin bar; строит гистограмму, представленную на рис. 4.16.

Параметрическое задание функции

В которых $t$ принимает значения с отрезка [n1; n2]. Каждому значению t соответствуют значения x и y — координаты точки на плоскости Оxy.

Когда $t$ изменяет свое значение на промежутке от $n1$ до $n2$, точка описывает некоторую кривую. Уравнения $x=\phi (t)$ и $y=\psi (t)$ получили название параметрических для кривой, а $t$ — параметра.

Предположим, что функция $x=\phi (t)$ имеет обратную функцию $t=\ (x)$. Тогда справедливо равенство:

Параметрический способ задания функций широко применяется в механике. Так, если в плоскости некоторая материальная точка находится в движении (время $t$), и законы движения проекций этой точки на оси координат известны:

Уравнения являются параметрическими уравнениями траекторий движущейся точки. Исключая временной параметр, получим уравнение траектории в форме $y = f(x)$.

Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скорость $v_0$ на высоте $y_0$.

Допустим, что груз сбрасывается с момент пересечения самолетом оси Oy. Тогда очевидно, что горизонтальное перемещение груза равномерно и имеет постоянную скорость:

А вертикальное перемещение:

Следовательно, расстояние от груза до земли в произвольный момент падения:

Уравнения горизонтального и вертикального перемещения тела являются параметрическими. Для того, чтобы исключить временной параметр $t$, найдем его значение из первого уравнения.

Полученное выражение подставим во второе параметрическое уравнение чтобы найти уравнение траектории:

Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Грибов Александр Федорович, Котович Александр Валерианович

Рассматривается построение (эскизирование) кривых, заданных параметрически без полного исследования с использованием производных. Построение проводится с использованием вспомогательных графиков . Такой подход к построению позволяет использовать материал статьи для работы как со школьниками, так и со студентами на первых занятиях первого курса. Приведены примеры построения кривых, и представлены варианты задания для самостоятельной работы.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Грибов Александр Федорович, Котович Александр Валерианович

Текст научной работы на тему «Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически»

научно-методический электронный журнал

Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

ART 170125 УДК 378.147

Грибов Александр Федорович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва alexandr-gribov@list.ru

Котович Александр Валерианович,

кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва shurik.kot@gmail.com

Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически

Аннотация. Рассматривается построение (эскизирование) кривых, заданных параметрически без полного исследования с использованием производных. Построение проводится с использованием вспомогательных графиков. Такой подход к построению позволяет использовать материал статьи для работы как со школьниками, так и со студентами на первых занятиях первого курса. Приведены примеры построения кривых, и представлены варианты задания для самостоятельной работы. Ключевые слова: графики, эскизы, функция, параметрическое задание, декартова система координат.

Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Наряду с явным заданием кривых на плоскости в декартовой системе координат Oxy, когда зависимость х от у определяется выражением y = f (x), и неявным, когда х и y связаны между собой уравнением F (x, y) = 0 [1], часто используется параметрическое задание. Поэтому, как и при рассмотрении графиков функций, заданных в декартовой системе координат, возникает задача эскизирования кривых, заданных параметрически. Под эскизированием графика функции (кривой на плоскости) понимают построение эскиза (наброска) графика функции (кривой на плоскости) без проведения полного исследования функции (функций или уравнений, задающих кривую) с привлечением первой и второй производной [2]. Однако такой эскиз должен достаточно точно отражать основные особенности поведения функции (кривой).

Зафиксируем на плоскости декартову прямоугольную систему координат Oxy. Множество точек плоскости, координаты которых х и y определяются непрерывными на некотором множестве D е R значений параметра t функциями

t e D, называют параметрически заданной кривой. Если за параметр t принять время, то приведенные формулы определяют закон движения материальной точки на плоскости, а кривую, получающуюся при этом движении, называют траекторией.

Фиксированному значению х из первого уравнения соответствует некоторое значение t, по которому из второго уравнения можно определить значение у. При этом может оказаться, что одному значению х соответствует несколько значений параметра t и, соответственно, переменной у. В этом случае задаваемая соотношениями функция является многозначной.

научно-методический электронный журнал

Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

Иногда возможно перейти от параметрического задания кривой к явному аналитическому виду. Для этого выражают из уравнения х = х(г) параметр 1 через х и, подставив результат в уравнение у = у(г), получают зависимость у от х (у = /(х)). Тогда задача эскизирования кривой, заданной параметрически, сводится к аналогичной задаче для явно заданной функции у = /(х).

Однако такой переход не всегда возможен, или зависимость у = / (х) достаточно сложна для построения кривой. В этом случае для эскизирования кривой, заданной параметрически, можно использовать вспомогательные графики. Идея построения кривой в этом случае состоит в том, что, построив два вспомогательных графика х = х(г) и у = у(г), искомую кривую в системе координат Оху получают путем соединения кусков (частей) кривой соответствующих нулям, точкам экстремума и бесконечности каждой из функций х = х(г) и у = у(г) при одинаковых значениях параметра

Пример 1. Рассмотрим построение кривой, задаваемой параметрически уравне-

Строим два вспомогательных графика: х = г +1 (рис. 1) и у = г2 +16 (рис. 2). Гра-

фик первой функции можно построить путем «сложения» [3] графика прямой х = t и

гиперболы х =1. Аналогично, складывая графики параболы у = г2 и гиперболы у =16

, получаем второй график функции.

Отметим, что из уравнения кривой видно, что она симметрична относительно оси ординат: при изменении знака t меняется только знак абсциссы и сохраняется знак и абсолютное значение ординаты. Следовательно, достаточно построить кривую только для отрицательных значений t или только для положительных значений ^

Определяем те значения параметра t, при которых либо первая, либо вторая функция достигает нулевых, экстремальных значений или не определена. Нулей (точек пересечения с осями координат) ни у одной из рассматриваемых функций нет. При г = 0 обе функции не определены, причем при приближении к этому значению с

issN 2304-120X Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

научно-методический электронный журнал

положительной части оси Ог обе функции принимают неограниченно большие положительные значения, а с отрицательной части оси 01 — вторая функция у (г) в силу её чётности также неограниченно возрастает, а первая функция х(г) в силу её нечётности принимает неограниченно большие отрицательные значения, т. е. неограниченно убывает.

Из построения графиков (рис. 1 и 2) видно, что функция х(г) достигает экстремальных значений при г = а и г = Ь, а функция у (г) — при г = с и г = й, причем абсолютные значения с и й больше, чем абсолютные значения а и Ь . Простым перебором значений г нетрудно установить, что функция х(г) достигает локального максимума при г = -1 (т. е. а = -1) и локального минимума при г = 1 (т. е. Ь = 1), а функция у (г) достигает локального минимума при г = -2 (т. е. с = -2) и г = 2 (т. е. й = 1).

Переходим к построению искомой кривой на плоскости хОу. При изменении параметра г от -сю до точки с значения х возрастают от -ю до х(с), а значения у убывают от +сю до у (с). Исходя из этого, для удобства изложения поставим точку М при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика отрицательных значениях х и положительных значениях у , и точку С с координатами х (с) и у (с). Соединяем эти две точки плавной непрерывной кривой (см. рис. 3).

научно-методический электронный журнал

Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

Далее, при изменении параметра г от с до а значения х и у возрастают соответственно от х (с) до х (а) и от у (с) до у (а), оставаясь одинаковыми по знаку. Отметим точку А( х(а), у(а)) и соединим точки А и С. При изменении параметра г от а до 0 значения х убывают от х(а) до -ю, а значения у возрастают от у(а) до , также оставаясь неизменными по знаку. Поставим точку N, имеющую достаточно большие в масштабе рассматриваемого графика отрицательные координаты по х и положительные по у. Соединяем точки А и N непрерывной кривой так, чтобы она на всем своём протяжении лежала выше кривой МС, так как одинаковым отрицательным значениям х на графике функции х = х(г) (см. рис. 1) соответствуют большие положительные значения у правее точки с, чем левее неё, на графике функции у = у(г) (см. рис. 2) и, как следствие, на кривой AN, чем на кривой МС.

Вторую ветвь искомой кривой, лежащую в первом квадранте, можно построить аналогично или, с учётом установленной выше симметрии, отразив симметрично относительно оси ординат построенную кривую.

Пример 2. Построить на плоскости кривую, заданную параметрически следую-

Как и в примере 1, строим два вспомогательных графика: х = г2 (рис. 4) и

у = г (г — 1)(г — 2) (рис. 5).

Графиком первой функции является парабола, проходящая через начало координат, с ветвями, направленными в положительную сторону оси а [4]. График второй функции можно простроить, например, перемножением трех функций, графиками ко-

issn 2304-120X Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

научно-методический электронный журнал

Отметим, что обе функции л = х(г) и у = у(г) определены при всех значениях параметра t. Функция х = х(г) принимает нулевое значение в точке t = 0, которая является также точкой ее минимума. Функция у = у(г) обращается в ноль в точках t = 0 (так как функция у = г в этой точке обращается в ноль), t = 1 (так как функция у = г -1 в этой точке обращается в ноль) и t = 2 (так как функция у = г — 2 в этой точке обращается в ноль). В точке г = а, расположенной между точками t = 0 и t = 1, функция у = у(г) достигает максимального значения, а в точке г = Ь, расположенной между точками t = 1 и t = 2, — минимального значения.

Отметив особенности поведения графиков вспомогательных функций и определив их характерные точки, приступаем к построению искомой кривой на плоскости хОу (рис. 6).

При изменении параметра t от -ю до 0 значения х убывают от +ю до 0, а значения у возрастают -ю до 0. Поэтому поставим точку М при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика положительных значениях х и отрицательных значениях у и соединим ее с точкой О — началом координат, непрерывной прямой.

Далее, при изменении параметра t от 0 до а значения х и у возрастают от 0 до соответственно х(а) и у(а). Отметим точку А(х(а),у(а)) и соединим точки О и А. При изменении параметра t от а до 1 значения х продолжают возрастать, достигая при г = 1 значения х = 1, а значения у убывают от у(а) до 0 при г = 1. Отметим точку О, соответствующую значениям х = 1 и у = 0, и соединим ее с точкой А. Дальнейшее увеличение параметра t от 1 до Ь приводит к уменьшению значений у от 0 до у(Ь) при увеличивающихся значениях х от 1 до х(Ь). Отметим точку В(х(Ь), у(Ь)) и соединим ее с точкой О плавной непрерывной кривой. И наконец, при изменении параметра t от Ь до +ю значения х и у возрастают соответственно от х(Ь) до +ю и от у(Ь) до +ю, причем при г = 2 значение х равно 4, а значение у — 0 (точка О2). Поэтому поставим точку N при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика положительных значениях х и у. Соединяя точки В, О и N, получаем окончательный вид искомой кривой.

Другой способ построения состоит в представлении функций, параметрически задающих кривую на плоскости, в виде вектора.

научно-методический электронный журнал

Рассмотрим этим способом.

Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

построения кривои, задаваемой уравнениями:

Будем рассматривать значения х и у как координаты некоторого вектора, записывая их, как это принято, в столбец. Тогда правую часть рассматриваемых уравнений можно представить в виде суммы векторов, задаваемых столбцами своих координат:

Рассмотрим, как изменяется вектор

в зависимости от параметра t. Оче-

видно, что вектор

представляет собой вектор единичной длины (в силу того,

что sin21 + cos21 = 1), приложенный к началу координат — точке О. При этом при фиксированном значении t0 он образует угол t0 , откладываемый против часовой стрелки (в положительном направлении) от положительного направления оси Ox. Таким обра-

зом, конец вектора

при изменении параметра t пробегает единичную окруж-

ность с центром в начале координат. Координата же x вектора

с соответствующей координатой вектора

увеличивается в два раза, а y — в

четыре раза. Следовательно, искомую кривую (см. рис. 7) образуют концы векторов, координаты которых при фиксированном значении г, равном г0, увеличиваются, соответственно, в два (координата х) и в четыре (координата у) раза по сравнению с соответствующими координатами соответствующих единичных векторов с началом в точке О (0;0). Из рис. 7 видно, что полученная кривая является эллипсом с полуосями,

равными двум и четырем. Убедиться в этом можно, подставив в каноническое урав-

нение эллипса — + — = 1 вместо х и у координаты рассматриваемого вектора.

научно-методический электронный журнал

Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

Продолжая построение заданной кривой, прибавим к вектору

ный (не зависящий от t) вектор с координатами . Исходя из правила сложения

векторов в координатной форме, заключаем, что координата х всех точек полученного эллипса увеличивается на одну единицу, а координата y — на пять единиц, что, в свою очередь, эквивалентно смещению этого эллипса на одну единицу в положительном направлении оси Ох и на пять единиц в положительном направлении оси Oy . Окончательный вид искомой кривой показан на рис. 8.

Пример 3. Построить на плоскости кривую, заданную параметрически следую-Í х = t — sin t

щими уравнениями < (Циклоида).

По аналогии с примером 1 представим заданные уравнения в векторном виде:

Рассмотрим первое слагаемое в правой части последнего выражения — вектор . При изменении параметра t от -ю до +ю конец этого вектора лежит на прямой

у = 1, так как первая его координата х изменяется от -ю до +ю, а вторая координата

y остается постоянной и равной 1. Конец вектора

второе слагаемое в рассматриваемом векторном выражении, как было показано в примере 1, пробегает единичную окружность с центром в начале координат.

Зафиксируем некоторое значение t, равное ^. Известно, что угол в ^ радиан соответствует длине дуги единичной окружности — г. Пусть центр единичной окружно-

сти находится в точке О0 с координатами (рис. 9) и эта окружность имеет возмож-

ность «катиться» без проскальзывания по оси Ох так, что ее центр перемещается по прямой у = 1. Тогда, если окружность «откатится» на расстояние ^ в положительном

направлении оси Ox, то ее центр переместится в точку O с координатами

issn 2304-120X Грибов А. Ф., Котович А. В. Элементарные методы построения кривых, заданных параметрически // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — Специальное приложение к № 6 (июнь). — 0,3 п. л. — URL: http://e-koncept.ru/2017/170125.htm.

научно-методический электронный журнал

соответствует значению первого слагаемого в уравнении, задающем искомую кривую,

при t = tx. Вектор с координатами

представляет собой единичный вектор ОЕ\

, образующий угол tx с отрицательным направлением оси Oy и отложенный в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке. Таким образом, этот вектор совпадает с вектором ОхАх, где точка /Ь принадлежит «катящейся» окружности. Следовательно,

получается сложением векторов, первый из которых соединяет

начало координат и центр «катящейся» окружности О1, а второй представляет собой

вектор ОД , где точка Ai будет концом вектора

. Соединяя полученные таким

образом точки А, получаем искомую кривую, которую называют циклоидой.

Нетрудно заметить, что циклоида представляет собой не ограниченную в направлении оси Ох и ограниченную в направлении оси Оу периодическую функцию, описываемую точкой окружности (колеса), катящейся без проскальзывания по оси Ох

В некоторых случаях для более точного построения кривых, заданных параметрически на плоскости, целесообразно выяснить вопрос о существовании асимптот и, в случае утвердительного ответа, найти эти асимптоты. Если кривая, задаваемая урав-

нениями < , имеет вертикальную асимптоту при t = t0, то lim y(t) = , в то время

как lim x(t) = a. При этом уравнение вертикальной асимптоты будет x = a. Для суще-

ствования наклонной (в частности, горизонтальной асимптоты) необходимо, чтобы

lim[(x(t))2 + (y(t))2] = ю. Если при этом существуют и конечны пределы: limy(-) = к и ^o ^o x(t)

lim(y(t) — kx(t)) = b, то кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой y = kx + b

. (В частности, если к = 0, то кривая имеет горизонтальную асимптоту.) [6]

Например, для кривой, задаваемой уравнениями

= +оо (способы вычисления пределов см. [7]).

t .г lim x(t) = lim— = -1; lim y(t) = lim—

Таким образом, x = -1 — вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты: lim[(x(t))2 + (y(t))2] = lim

следовательно, при г = ±1 могут быть наклонные асимптоты. Определяем коэффициенты к и Ь при г = 1: