Как построить график функции в вольфрам математика

• 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
• (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения [ править ]

Логические символы [ править ]

• Конъюнкция «И» ∧ <\displaystyle \wedge >: &&
• Дизъюнкция «ИЛИ» ∨ <\displaystyle \vee >: ||
• Отрицание «НЕ» ¬ <\displaystyle \neg >: !
• Импликация =>

Основные константы [ править ]

Основные функции [ править ]

Решение уравнений [ править ]

• Solve [Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x]или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
• Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
• Solve[Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0,x] или \Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0.

• Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
• x²+y²-5=0 или Solve[x²+y²-5=0,x] или Solve[x²+y²-5=0,y];
• x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств [ править ]

• Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
• x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где j <\displaystyle j>— интересующая Вас переменная.

• Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
• x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
• x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем неравенств и уравнений [ править ]

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

• x^3+y^3==9&&x+y=1;
• x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
• Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
• Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций [ править ]

• Plot[x^2+x+2, ];
• Plot[x^2+x+2, ,];
• Plot[Sin[x]^x, ];
• Plot[Sin[x]^x, ,].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],].

• Plot[x&&x^2&&x^3, ,];
• Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], ].

• Plot[Sin[x^2+y^2],,];
• Plot[xy,,].

Математический анализ [ править ]

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы [ править ]

• Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
• Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

• Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
• Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные [ править ]

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

• D[x*E^x, x];
• D[x^3*E^x, ];
• D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
• D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
• D[x/(x+y^4), ].

Интегралы [ править ]

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

• Integrate[Sin[x]/x², x].
• Integrate[x^10*ArcSin[x], x].
• Integrate[(x+Sin[x])/x, ].
• Integrate[Log[x^3+1]/x^5, ].

Дифференциальные уравнения и их системы [ править ]

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока что не поддерживается.

Wolfram Language Graphics Tutorial

This is a basic tutorial on WolframLang graphics system.

This tutorial teaches you:

• Builtin functions for plotting math functions
• Builtin functions for plotting data (bunch of numbers)
• How does graphics work. WolframLang graphics primitives. How to write program to draw arbitrary graphics, or extract graphics from builtin plotters.

or you can watch a video:

There are two major types of builtin plotting functions:

• Plotting math functions. e.g. plot sine, equation, vector valued function, complex function, parametric formula for 2D or 3D, etc.
• Plotting data (usually list of numbers), such as pie chart, bar chart, statistics, histogram, stock chart, or a surface by a bunch of points, etc.

Plotting Math Functions

Note, most plotting function’s names contains the word “Plot”, but not all. For example BarChart , PieChart , Histogram , BoxWhiskerChart , etc.

To get a list of builtin functions for plotting, type any one of the following to get a list:

• ?*Plot*
• Names[«*Plot*»]
• Information[«*Plot*»]

Plot3D[ Sin[x] Sin[y], , ]

Functions for Data Visualization

PieChart3D[<3, 10, 1>, ChartLabels -> <"a", "b", "c">]

Options for Plot Functions

Type Options[ FunctionName ] to get a list of options for the function. Example:

Options for Plot

Type ? Name to get the documentation for the option name.

Click the info icon to goto the full documentation.

Commonly Used Options for 2D Graphics

• AspectRatio AspectRatio
• Axes Axes
• AxesLabel AxesLabel
• Frame Frame
• FrameLabel FrameLabel
• FrameTicks FrameTicks
• PlotLegends PlotLegends
• PlotPoints PlotPoints
• PlotRange PlotRange
• Ticks Ticks

Commonly Used Options for 3D Graphics

Commonly used options for 3d plot functions that plots surface of math function. For example: Plot3D , ParametricPlot3D

• PlotPoints ->
• Axes -> False
• Boxed -> False
• BoundaryStyle -> Directive[Black, Thin] → boundary line.
• Mesh -> None
• MeshShading -> <, > → no surface patch.
• PlotStyle -> Directive[White, Opacity[0.7], Specularity[10, 20]] → surface color, transparency, shine.
• Lighting -> «Neutral»

How Does WolframLang Graphics Work

All WolframLang graphics is a expression that’s a list of graphics primitives.

All Plot functions or visualization functions that show graphics, are internally creating a list of graphics primitives.

graphics primitive

graphics primitive is a expression that represents a graphical element, such as line, circle, polygon, text, sphere, tube.

some graphics primitives are 2D (such as Circle, Disk, Rectangle), some are 3D (e.g. Sphere, Cuboid, Tube), some both (e.g. Point, Line, Polygon).

Example of graphics primitives:

• Point[<45,41>] (2D)
• Point[<44,90,48>] (3D)
• Line[<<331,754>, <557,550>, <888,272>>] (2D)
• Line[<<92,402,927>, <183,643,101>, <229,39,925>>] (3D)

• Polygon[ args ] (2D or 3D)
• Text[ args ] (2D)
• Disk[ args ] (2D)
• Circle[ args ] (2D)
• Rectangle[ args ] (2D)
• Sphere[ args ] (3D)
• Cuboid[ args ] (3D)
• Tube[ args ] (3D)

Graphics primitives are symbolic. By themselves they do nothing.

Displaying Graphics Primitives

To display a graphics primitives, such as Line[< point1 , point2 >] , put them inside the functions Graphics or Graphics3D .

Graphics[Line[<<0, 0>, <2, 1>>]] Graphics3D[Cuboid[<0, 0, 0>, <1, 2, 1>], Axes -> True] Graphics3D[Table[Cuboid[, + 1], ], Axes -> True]

How Do Builtin Plot Functions Work

2022-02-09 work in progress

How to Extract Graphics from Builtin Plot Functions

2022-02-09 work in progress

Advanced Graphics Programing from Scratch

2022-02-09 work in progress

Discretize Graphics

DiscretizeGraphics and DiscretizeRegion returns a MeshRegion . These are critical, when you want to do a transformation on graphics, so that it is applied all points on edge or faces, instead of just on vertexes.

WolframAlpha для всех

В двух предыдущих примерах мы задавали область значений аргумента х. А что будет, если не задавать область значений х?

Одной из уникальных особенностей Wolfram | Alpha является автоматический выбор подходящего диапазона х для построения графиков функций одной и двух переменных, например, как при построении графика этой функции, содержащей функции Бесселя:

Обращаясь к Wolfram | Alpha, чтобы построить график функции, мы всегда используем префикс plot. Если же мы введем какое-либо одномерное выражение без префикса plot, то получим кроме графика функции в прямоугольных декартовых координатах, еще и много других сведений об этой функции.

Кроме того, изображение построенного графика будет крупнее, если вы используете префикс plot.

Одновременно в Wolfram | Alpha можно строить графики нескольких функций.

Если навести мышь на левый нижний угол изображения, то становятся доступными две ссылки: Save as image и Copyable planetext. Рассмотрим такой график:

Первая ссылка Save as image, которая открывается в левом нижнем углу изображения, позволяет сохранить построенный график, как картинку на компьютере пользователя — при нажатии на Save as image автоматически начнется загрузка изображения:

Вторая ссылка Copyable planetext позволяет увидеть код, аналогичный тому, который используется системой Matematica для построения графиков:

Теперь рассмотрим, как в Wolfram | Alpha построить графики функций двух переменных. Начнем с функции y^2 cos(x) для x от -6 до 6 и y от -2 до 2

Все трехмерные графики строятся с помощью функции plot3d системы Mathematica. Контурные графики были сделаны с помощью ContourPlot. В обоих случаях, чтобы увидеть код системы Mathematica для генерации изображения нужно нажать ссылку Copyable planetext в левом нижнем углу нужного изображения.

Wolfram Language (Mathematica) на русском языке… или продвинутое задание функций

Одним из самых важных навыков в работе с системой Mathematica, является задание функций, которые имели бы самый разный вид, и зависели бы от разного количества переменных (от буквально ни одной переменной до бесконечного их количества), при этом некоторые переменные могли бы иметь значения, которые используются по умолчанию, если не вводятся их конкретные значения, другие имели бы вид опций, как у многих встроенных в Mathematica функций, или имели бы строгие ограничения на свой тип…

В данном посте будет показано как программировать в Mathematica на русском языке, а для этого я покажу как создать функции, имена которых задаются кириллицей, соответствующие оригинальным встроенным функциям. При этом вы познакомитесь с тем, как собственно задавать самые разные типы и виды функций.

Мне хотелось бы отметить, что в версии 10.1 языка Wolfram Language (Mathematica) начался процесс русификации интерфейса, документации и предсказательного интерфейса. Для ряда языков, например, китайского, процесс полной локализации уже практически завершен. При этом, более того, даже сервис Wolfram|Alpha скоро сможет работать на китайском.

Создание стандартных функций нескольких переменных

Отсроченное задание функции

Задать стандартную функцию можно с помощью конструкции вида:

В данной конструкции участвуют три крайне важных функции Mathematica, первая — это отсроченное присваивание SetDelayed (в короткой форме имеет вид :=), вторая — шаблонное выражение Blank[] (в короткой форме имеет вид _), третья — шаблон с присвоенным ему именем Pattern[name, object] (в короткой форме имеет вид name:object, или, если шаблонный объект представляет собой просто _, то name_).

Рассмотрим подробнее зачем они нужны и как работают.

• Отсроченное присваивание := употребляется в виде:

оно присваивает выражение rhs (сокращение от “right hand side” — справа) в качестве отсроченного значения объекта (символа) lhs (сокращение от “left hand side” — слева), при этом выражение rhs остается в невычисленном виде. Как только в коде встречается объект lhs, он заменяется на выражение rhs, которое после этого вычисляется.

• Шаблонное выражение _ употребляется в виде:

оно олицетворяет собой любое выражение, написанное на языке Wolfram Language. При этом, шаблон _h задает любое выражение, головная часть которого совпадает с h.

• Шаблон с присвоенным ему именем name_ употребляется в виде:

он служит для “передачи” объекта внутри используемых функциональных конструкций (правил замен, задании функций и т. п.)

Что ж, суммируя сказанное выше, можно сказать, что стандартное задание функции одной переменной имеет вид:

которое в полной форме (в той, которой его на самом деле “видит” и использует Mathematica) выглядит так:

Задание функции в виде отсроченного присваивания, которое в общем случае имеет вид:

f[pattern]:=lhs

работает следующим образом:

• как только Mathematica встречает при вычислении кода функцию с именем f, она проводит сопоставление ее вычисленного аргумента expr (если она встретила выражение f[expr]) с шаблоном pattern. В том случае, если выражение-аргумент expr удовлетворяют шаблону pattern, то конструкция f[expr] заменяется на выражение lhs, в котором все символы с именем, соответствующем имени шаблонного выражения pattern заменяются на выражение expr, после чего полученная конструкция вычисляется и замещает исходное выражение f[expr].

Понятно, что если используется задание функции вида f[v_]:=lhs[v], то, как было сказано выше, любое выражение expr удовлетворит шаблону v_.

Приведу пример. Зададим функцию, которая вычисляет :

Попробуем вычислить ее значение от разных аргументов:

Как видно из рассмотренных выше примеров, действительно любой объект (число, символ, картинка) удовлетворяют шаблону x_ и Mathematica легко работает со всеми выражениями, что демонстрирует необычайную гибкость ее языка.

Задание функции многих переменных полностью аналогично. Скажем, зададим функцию 3 переменных:

Создание функции, которая “помнит” свои вычисленные ранее значения

Если изменить отсроченное задание функции следующим образом:

то однажды вычислив значение в некоторой “точке” (значение при некотором значении аргумента, аргументом может быть не обязательно число и необязательно точка в привычном ее понимании. ), функция f будет помнить (правда только в рамках данной сессии Mathematica) это значение (здесь была использована функция Set (в короткой форме имеет вид =), которая позволяет присвоить некоторому символу некоторое значение).

Такое задание функции способно сэкономить массу времени, если вычисление правой части отсроченного присваивания функции занимает много времени, но при этом требует больше памяти.

Пример (время вычисления некоторой команды можно узнать с помощью функции Timing):

Из примера видно, что однажды вычислив значение функции в точке, при таком задании функции, в следующий раз оно не займет никакого времени.

• Внимание! Такое присваивание может сыграть с вами злую шутку. Так как значение функции в данной точке хранится в памяти, оно становится нечувствительным к изменению собственно правой части lhs[v] функции:

Абсолютное задание функции

В том случае, если использовать вместо функции SetDelayed (:=) функцию Set (=) в задании функции:

то выражение справа lhs[v] будет вычислено сразу, после чего в него будут подставляться значения аргументов функции при встрече в дальнейшем выражения вида f[expr] в коде. Такая форма задания функции способна сэкономить время в том случае, если вычисление выражения lhs[v] трудоемко и по сути не зависит от конкретного значения аргумента v.

Сравним отсроченное и абсолютное задания функций.

Вычисление выражения lhs[v] не зависит от значения v напрямую:

Вычисление выражения lhs[v] зависит от значения v напрямую:

Из двух примеров выше можно сделать два важных вывода:

• Внимание! Абсолютное задание можно использовать только в том случае, если вычисление конструкции lhs[v]не зависит напрямую от переменной v. Если это не так, то ответ может быть не верен.

• В случае применения абсолютного задания функций, вы получаете возможность заметно ускорить свои вычисления в ситуации, когда вычисление правой части задания функции не зависит напрямую от аргумента.

Задание функции, некоторые аргументы которой имеют значения по умолчанию

В некоторых ситуациях удобно использовать функции, некоторые переменные которых имели бы значения по умолчанию. Задать такого рода переменную для функции можно с помощью функции Optional, которая употребляется следующим образом:

Зададим функцию, которая строит круг или окружность, при этом по умолчанию центр этого круга (окружности) находится в точке (0, 0), он (она) имеет радиус равный 1, а также имеет красный цвет:

Очевидным неудобством работы с такими функциями является то, что если вы хотите использовать много аргументов со значениями по умолчанию, то использовать эти значения у вас получится только в том случае, если они стоят справа от тех аргументов, которым вы придаете какое-то значение. Если же вы меняете какое-то значение по умолчанию на конкретное, то вам придется в обязательном порядке явно указывать и все значения, что стоят левее от него. Таким образом, данное задание очень чувствительно к порядку следования аргументов, а значит переменные со значениями по умолчанию должны располагаться в порядке убыли частоты их использования, если же частота примерно одинакова, то целесообразность задания таких функций резко падает.

Задание функции с опциями

Для того, чтобы избавиться от проблемы, связанной с использованием переменных, которые имеют значения по умолчанию, которая рассматривалась выше, служат функции, которые имеют так называемые опции. Большинство встроенных функции Mathematica имеют те или иные опции.

Для того, чтобы задать опции для некоторой функции, служат встроенные функции OptionsPattern и OptionValue, смысл работы с которыми ясен из следующего примера: реализуем ту же функцию, что и ранее (строящую круг или окружность, с центром по умолчанию в точке (0, 0), радиуса 1, красного цвета), только все значения по умолчанию теперь задаются опциями:

Задание функции с наложенными на аргументы условиями

Для того, чтобы наложить на какой-то аргумент функции ограничение, служит функция Condition (имеющая короткую форму /;).

Скажем, создадим функцию, которая вычислялась бы, только если ее аргумент больше 2:

Или функцию, которая вычислялась бы, если ее аргумент является списком, состоящим не более чем из 4 элементов:

В примере выше также использовался шаблон с указанием головной части выражения List (x_List), который задает любой список.

Такого рода шаблоны могут быть самыми разными:

Также вы можете пользоваться всевозможными тестовыми функциями, которые проверяют, обладает ли выражение, определенным свойством. Это делается с помощью функции PatternTest (имеющая короткую форму ?), стандартный синтаксис которой выглядит следующим образом:

Все тесты (как видно из кода ниже, их 128) в системе Mathematica это функции, которые оканчиваются, как правило, на заглавную букву Q:

128

Скажем, вот так просто можно создать функцию, которая будет работать только с простыми числами:

Альтернативные шаблоны

В некоторых случаях функция должна работать с выражением, если оно удовлетворяет одному из заданных шаблонов. Реализовать подобную конструкцию можно с помощью функции Alternatives (имеющая короткую форму |).

Ниже представлена функция, аргумент которой может быть либо списком, либо целым числом, большим 4:

Множественное задание функций (перегрузка функций)

В Mathematica у вас есть возможность задать определения функции, которые будут применяться в разных ситуациях. Сделать это можно с помощью применения шаблонов с головными частями выражений, а также с использованием ограничений, наложенных на переменные.

В примере ниже создана функция, которая по разному обрабатывает входные данные в зависимости от их типа:

Пример: композиция из описанных ранее способов задания функций и ее аргументов

Программирование в Mathematica на русском языке

Теперь, когда мы знаем о том, как задаются функции, можно поставить перед собой такую задачу: сделать так, чтобы можно было программировать в Mathematica на русском языке с соблюдением основных парадигм: встроенные функции капитализированы и их названия в точности соответствуют действию, которое они осуществляют.

Для этого, нужно сделать русские аналоги встроенных функций.

Начнем с функции Plot, на русском языке ей будет соответствовать функция График. Синтаксис функции Plot имеет вид:

Ее русский аналог будет полностью аналогичен.

Начнем с того, что узнаем список всех опций функции Plot и их значения по умолчанию, это можно сделать с помощью функции Options:

Теперь создадим этот список на русском языке (здесь опущены некоторые опции, которые, по опыту, употребляются крайне редко при построении графика):

Теперь зададим связь русских названий с встроенными аналогами:

Теперь мы можем задать русский аналог функции Plot:

Также нам потребуются некоторые стандартные обозначения толщины и цвета линий:

Аналогично зададим функцию Решить — русский аналог функции Solve, АбсолютныйРазмерТочки — AbsolutePointSize, Точка — Point, Линия — Line:

Попробуем создать некоторый график:

Таким образом, в Mathematica возможно создать пакет, который позволит программировать на обычном русском языке, подобно тому, как это делалось в СССР, скажем на языке АЛМИР-65.

Если у кого-то из вас появится желание развить данную идею, то вполне возможно сделать так, чтобы Mathematica работала на русском языке.