Как опустить перпендикуляр из точки на прямую

§ 6. Опустить перпендикуляр из данной точки С на прямую MN

Из точки С проводим наклонную СВ (рис.1); находим ее середину О (см. §2) из нее описываем окружность радиусом ОВ. Окружность пересекает MN еще в точке А. Проведя АС, получим искомый перпендикуляр.

В случае, когда точка С лежит близко к прямой MN, этот способ может дать большую погрешность. Тогда лучше пользоваться следующим построением. Из точки С, как из центра (рис.2), проводим дугу DE произвольного радиуса, пересекающую MN в точке D, E. Из точек D, E, как из центров, проводим одним и тем же радиусом две дуги cd, ab, пересекающиеся в точке F. Проведя прямую через точки F и С, получи искомый перпендикуляр.

Перпендикуляр к прямой

Что такое перпендикуляр к прямой? Как построить перпендикуляр к прямой? Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой? Что такое наклонная? Что называется проекцией наклонной? Об этом — ниже.

Перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a — это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной прямой a, один конец которого — точка A, второй — точка пересечения этих двух прямых.

Как построить перпендикуляр к прямой?

рисунок 1

На рисунке 1 изображены прямая a и точка A, не лежащая на прямой a.

Чтобы построить перпендикуляр, воспользуемся угольником.

рисунок 2

Угольник располагаем так,

чтобы одна сторона прямого угла проходила вдоль прямой a,

а вторая — через точку A.

рисунок 3

Если провести через точку A вдоль стороны угольника прямую,

то получим прямую b, перпендикулярную данной прямой a.

Нам нужно построить перпендикуляр, то есть отрезок — часть этой прямой.

рисунок 4

Соединим точку A с точкой на пересечении прямых a и b

(назовем вторую точку B).

Отрезок AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.

Точка B называется основанием перпендикуляра.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра.

Расстояние от точки A до прямой a (рисунок 4) равно длине отрезка AB.

Из данной точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.

Любой другой отрезок, который соединяет точку A с точкой на прямой a, называется наклонной.

Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отличный от перпендикуляра отрезок, соединяющий точку A с некоторой точкой на прямой a.

рисунок 5

На рисунке 5 AC — наклонная, проведенная из точки A к прямой a.

Точка C называется основанием наклонной AC.

Отрезок, который соединяет основание перпендикуляра с основанием данной наклонной, называется проекцией этой наклонной на прямую.

рисунок 6

На рисунке 6 BC — проекция наклонной AC на прямую a.

Перпендикуляр часто встречается при решении задач, связанных с треугольниками. В частности, определение высоты треугольника опирается на перпендикуляр.

Перпендикуляр к прямой

Возьмем прямую />и точку А, не лежащую на этой прямой. Соединим точку А с точкой Н, лежащей на прямой />(Рис.1).

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой />, если прямые АН и />перпендикулярны.

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство:

1. Существование перпендикуляра.

Пусть точка А не лежит на прямой ВС. Проведем луч ВА. Затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС. На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА (Рис.2).

Проведем прямую АК, пусть Н — точка пересечения прямых ВС и АК (Рис.3).

АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН — общая сторона, ВА = ВК, АВН =КBН (по построению), ВНА =ВНD. Но ВНА и ВНD — смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА +ВНD = 180 0 , следовательно, каждый из смежных улов прямой, т.е. ВНА =ВНD = 90 0 , а значит АНВС.

2. Единственность перпендикуляра.

Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр АН₁ к прямой ВС, тогда получим, что две прямые АН и АН₁, перпендикулярные к прямой ВС пересекаются в точке А (Рис.4). Но по свойству перпендикулярных прямых, прямые АН и АН₁ пересекаться не могут, значит, наше предположение неверно и через точку А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.

Проведение перпендикуляра из точки к прямой

Для проведения перпендикуляра из точки к прямой, используют чертежный угольник (Рис.5). Чертежный угольник прикладывают так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол угольника, располагалась вдоль прямой, к которой нужно провести перпендикуляр. Вдоль второй стороны, образующей прямой угол угольника, проводим прямую так, чтобы она проходила через точку, из которой нужно провести перпендикуляр к прямой. Отрезок, соединяющий точку на прямой, к которой нужно провести перпендикуляр, и точку, из которой нужно провести перпендикуляр, и есть перпендикуляр проведенный из данной точки к данной прямой. На Рис.5 АН.

Как с помощью линейки опустить перпендикуляр из точки А на прямую ВС?

Дана окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Требуется из точки А с помощью только одной линейки опустить перпендикуляр на прямую ВС (см. рисунок).

Если линейка градуированная, то окружность не нужна для ответа на вопрос.

1. Кладём линейку под любым острым углом к прямой ВС и проводим по линейке прямую, проходящую через точку А и пересекающую прямую ВС.
2. Измеряем длину отрезка AD.
3. Поворачиваем линейку так, чтобы её нулевое деление совпадало с точкой А. Останавливаем вращение, когда деление линейки, соответствующее длине AD, окажется на прямой BC. Проводим прямую по линейке и получаем точку Е пересечения этой прямой с прямой ВС.
4. Измеряем длину отрезка DE и полученную величину делим на 2.
5. Отрезок такой половинной длины откладываем на прямой ВС от точки D (отрезок DF) либо от точки Е (отрезок EF).
6. Проводим прямую, проходящую через точки А и F, она и будет перпендикулярна прямой ВС.

Авторское построение. С произвольно взятой точки можно опустить перпендикуляр только на диаметр вспомогательной окружности. Следовательно необходимо построить диаметр этой окружности параллельно прямой ВС (верхний рисунок). Проведем через В и С два диаметра ВЕ и СD. Ясно, что четырех угольник BDEC прямоугольный, а стороны ВD и СЕ параллельны. Разделим одну из этих сторон пополам, воспользовавшись леммой о трапеции: «Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных ее боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам».

Возьмем произвольно точку F вне прямоугольника и проведем прямые DF и ВF. Обозначим точками N и М их пересечения со стороной ЕC. Тогда прямая FG, проходящая через точку Н, пересечения диагоналей трапеции ВDNМ, делит сторону ВD пополам. Следовательно, диаметр КL, проходящий через точку G, параллелен прямой ВС (нижний рисунок).

Проведем хорды КТ и LР через точку А. Пусть прямые КР и LТ пересекаются в точке S. В треугольнике KSL отрезки КТ и LР являются его высотами. В результате прямая SV, проходящая через точку А третья его высота, так как все высоты треугольника проходят через одну точку.