Как найти шаг арифметической прогрессии

Как найти шаг арифметической прогрессии по заданным условиям

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на определенное число, называемое шагом. Например, 2, 4, 6, 8, 10 — это арифметическая прогрессия со шагом 2.

Как найти шаг арифметической прогрессии, если известны первый и последний члены? Существует несколько формул, которые позволяют решить эту задачу.

Формула 1

Шаг арифметической прогрессии можно найти по формуле:

d = (a_n — a_1) / (n — 1)

где d — шаг, a_n — последний член прогрессии, a_1 — первый член прогрессии, n — количество членов прогрессии.

Например, если известны первый и последний члены прогрессии 3 и 15, а количество членов равно 6, то шаг можно найти следующим образом:

d = (15 — 3) / (6 — 1) = 2.4

Ответ: шаг прогрессии равен 2.4.

Формула 2

Шаг арифметической прогрессии можно найти и другой формулой:

где d — шаг, a_n — последний член прогрессии, a_ — предпоследний член прогрессии.

Например, если известны первый и последний члены прогрессии 3 и 15, то предпоследний член можно найти вычитанием шага из последнего члена:

a_ = a_n — d = 15 — d

Поэтому шаг можно найти так:

Ответ: шаг прогрессии равен d, то есть шаг неизвестен.

Формула 3

Еще одна формула для нахождения шага арифметической прогрессии:

где d — шаг, a_1 — первый член прогрессии, a_2 — второй член прогрессии.

Например, если известны первый и второй члены прогрессии 3 и 5, то шаг можно найти так:

Ответ: шаг прогрессии равен 2.

Таким образом, существует несколько формул для нахождения шага арифметической прогрессии, и выбор определенной формулы зависит от доступных данных.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это последовательность чисел, в которой разница между двумя соседними числами — постоянна.

Например, последовательность 1, 2, 3, 4. является арифметической прогрессией с шагом(разностью) прогрессии 1.

Пример 2: последовательность 3, 5, 7, 9, 11. является арифметической прогрессией с разностью 2.

Пример 3: последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30. является арифметической прогрессией с разностью -10.

Обозначения

d — шаг или разность прогрессии.

a_n — член с номером n.

S_n — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии

1, 11, 21, 31, 41, 51. — арифметическая прогрессия.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
и
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2.

Если начальный член арифметической прогрессии a₁ и разность прогрессии d , тогда n-th член прогрессии может быть определён как

Сумма S первых n членов конечной прогрессии определяется по формуле:

Калькулятор

Задачи с арифметической прогрессией

1) Является ли ряд чисел 1,11,21,31. арифметической прогрессией?
Решение: Да, это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 10.

2) Найдите сумму первых 10 чисел из арифметической прогрессии 1, 11, 21, 31.
Решение: Мы можем использовать эту формулу S = 1 /₂(2a₁ + d(n-1))n
S = 1 /₂(2.1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5.92 = 460

3) Докажите, что если числа 1/(c + b) , 1/(c + a), 1/(a + b) есть членами арифметической прогрессии, тогда числа a 2 , b 2 , c 2 также являются арифметической прогрессией. Если Вы хотите получить доказательство, напишите, пожалуйста, доктору Математику.

Член арифметической прогрессии

Числовой ряд, в котором каждое последующее число возрастает или убывает на постоянное число (шаг прогрессии) представляет арифметическую прогрессию.
Любой n член арифметической прогрессии можно найти через первый член, прибавив к нему количество шагов прогрессии, равное (n — 1), где n — порядковый номер искомого члена прогрессии: а_n = а₁ + d (n — 1)
Если известен определенный n член арифметической прогрессии, можно найти первый член арифметической прогрессии: а₁ = а_n — d (n — 1)
После того, как найден первый член арифметической прогрессии, можно определить заданное количество первых ее членов путем прибавления к каждому предыдущему числу разности прогрессии (d). Число членов арифметической прогрессии неограниченно, т.к. разность прогрессии можно прибавлять до бесконечности.

Быстро рассчитать 1-й член арифметической прогрессии можно с помощью онлайн калькулятора, зная величину любого n члена прогрессии и ее разность (d).

math4school.okis.ru

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a_n , то говорят, что задано числовую последовательность :

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a₁ называют первым членом последовательности , число a₂ — вторым членом последовательности , число a₃ — третьим и так далее. Число a_n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

если a₁ = 1 , а a_n+1 = a_n + 5 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Последовательность простых чисел:

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

если a₁ = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d её n -й член может быть найден по формуле:

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

an =	an–1 + an+1
	2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой a_n = 2n – 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

an+1 + an–1	=	2n – 5 + 2n – 9	= 2n – 7 = an,
2		2

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a₁ , но и любой предыдущий a_k , для чего достаточно воспользоваться формулой

an =	a n–k + a n+k
	2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Sn =	a1 + an	· n .
	2

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an =	ak + an	· (n – k + 1) .
	2

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a₁, a_n, d, n и S _n связаны двумя формулами:

an = a1 + (n – 1)d и Sn =	a1 + an	· n .
	2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

• если d > 0 , то она является возрастающей;
• если d < 0 , то она является убывающей;
• если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

если b₁ = 1, q = –3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b_n = –3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b₁ , но и любой предыдущий член b_k , для чего достаточно воспользоваться формулой

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

Sn = b1 ·	1 – q n	.
	1 – q

А при q = 1 — по формуле

Заметим, что если нужно просуммировать члены

то используется формула:

Sn – Sk–1 = bk + bk+1 + . . . + bn = bk ·	1 – q n – k +1	.
	1 – q

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b₁, b_n, q, n и S_n связаны двумя формулами:

bn = b1 · q n –1 и Sn = b1 ·	1 – q n	.
	1 – q

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

• прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

• прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

S = b1 + b2 + b3 + . . . =	b1	.
	1 – q

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1 /₉ ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 /₁₁ . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄