Как найти точки пересечения параболы и прямой

Что такое функция

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается , а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Перечислим способы задания функции.

1 . С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

Это примеры функций, заданных формулами.

2 . Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3 . С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4 . С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Даже в первой части ЕГЭ по математике есть задачи на понимание определения функции.

Задание 1. Найдите если при

Что такое ? Это функция, каждому числу x ставящая в соответствие число Например,

Задание 2. Найдите если при

функция, каждому числу b ставящая в соответствии число

Тогда и значение

Задание 3, подготовительная задача. Найдите область определения функции

Очевидно, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Получим систему:

Решая ее, найдем область определения функции:

Понятие функции – одно из основных в программе математики 10-11 класса. Более того – именно с функций и графиков начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции – это все-таки арифметика. Математика – наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Функции и графики – универсальный язык, понятный физику и биохимику, астроному, инженеру и экономисту.
В настоящее время в вариантах ЕГЭ появилась задача по теме: Функции и графики. Есть также задачи на темы: точки максимума и минимума, поведение функции.

Тема Функции и графики есть также в вариантах ОГЭ по математике. Разберем реальные задачи ОГЭ и ЕГЭ по этим темам.

Необходимая теория в этом статье, а на других страницах нашего сайта:

Задачи ЕГЭ по теме: Функции и графики

Задача 1. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Линейная функция задается формулой

Найдем формулу первой функции, возрастающей. На ее графике выделены точки и
Угол наклона этой прямой к ось абсцисс острый, значит 0; k=tg\alpha=\frac<7><2>=3,5.’ alt=’k>0; k=tg\alpha=\frac<7><2>=3,5.’ />

Формула функции: Найдем и для этого подставим координаты любой из выделенных точек, например, точки с координатами

это формула возрастающей функции.

2. Найдем уравнение второй линейной функции, убывающей. На ее графике выделены точки и

Угол наклона этой прямой к ось абсцисс тупой, значит, для нее

Уравнение этой прямой имеет вид: Найдем и для этого подставим координаты любой из выделенных точек, например, точки с координатами

это формула второй функции, убывающей.

3) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение:

Задача 2. На рисунке изображен график функции , определенной на отрезке Найдите количество точек максимума функции на данном отрезке.

Точка максимума – такая внутренняя точка области определения функции, значение функции в которой больше, чем во всех достаточно близких к ней точках (локальная «горка» на графике). Таких точек мы видим три.

Задача 3. Графики функций и пересекаются в точках С и Е, причем абсцисса точки С положительна. Найдите абсциссу точки Е.

Найдем сначала значения параметров а и b.

График функции проходит через точку с координатами Подставим и в формулу функции Получим:

Значит, эта функция задается уравнением

График функции проходит через точку значит, линейная функция задается уравнением

Для точек пересечения графиков этих функций выполняется равенство:

Отсюда Решим это квадратное уравнение.

Так как абсцисса точки С положительна, она равна 0,5. Эта точка пересечения графиков показана на рисунке.
Абсцисса точки E (находится за пределами рисунка) равна -3.

Задача 4. Графики функций и пересекаются в точках А и В. По данным рисунка найдите абсциссу точки В.

Решение:
Запишем формулу функции

Ее график – квадратичная парабола

Вычитаем из первого уравнения второе:
то есть

Так как абсцисса вершины параболы,

Подставив в уравнение получаем:

Найдем точки пересечения графиков и
Для этих точек:

или
Абсцисса точки A равна -2 (как и показано на рисунке). Тогда абсцисса точки B равно 12.

Задача 5. На рисунке изображён график функции Найдите k.

На рисунке изображена гипербола. Ее график получен из графика функции смещением на 2 единицы влево и на одну единицу вниз

Чтобы найти , подставим координаты точки в формулу функции. На графике эта точка выделена жирным.

Чтобы проверить правильность решения, можно подставить в формулу функции координаты второй точки, которая выделена на графике,

получили верное равенство.

Задача 6. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

На рисунке изображены прямая и парабола.

Найдем уравнение параболы. Обратим внимание на выделенные точки на графике.
и Также парабола пересекает ось ординат в точке значит,
Подставим значение с и координаты точек в формулу квадратичной функции и получим систему двух уравнений с двумя переменными:

Формула квадратичной функции:

Найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого решим уравнение:
корни этого уравнения:

Абсцисса точки В равна -8. Найдем ее ординату:

Задача 7. На рисунке изображены графики функции и которые пересекаются в точках А и B. Найдите абсциссу точки B.

На рисунке изображены гипербола и прямая.

Найдем уравнение прямой:

Формула прямой:
На прямой выделены две точки: и Подставим по очереди их координаты в уравнение прямой и получим систему двух уравнений с двумя переменными:

; вычтем из первого уравнения второе и получим

Найдем уравнение гиперболы. Ее график симметричен относительно начала координат, значит, ее формула .

Если то Тогда уравнение гиперболы:

Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение:
Это дробно-рациональное уравнение.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

Решим увадратное уравнение:

— абсцисса точки А, она показана на графике.
— абсцисса точки В, которую нужно было найти.

Задача 8. На рисунке изображены графики функции и которые пересекаются в точке А. Найдите ординату точки А.

1) Найдем уравнение линейной функции. На ее графике выделены точки и

Линейная функция на рисунке — убывающая, значит,

Формула линейной функции: Чтобы найти b, подставим координаты любой из выделенных точек. Возьмем, например, точку

— формула линейной функции.

2) Найдем коэффициент а в формуле второй функции . На ее графике выделена точка

Подставим координаты этой точки в уравнение:

3) Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений:

Решив это уравнение, найдем, что

Это абсцисса точки пересечения графиков. Найдем ординату этой точки.

Задача 9. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d — целые. Найдите d при условии, что 0. ‘ alt=’d > 0. ‘ />

Мы складываем график линейной функции и график модуля который сдвинут вправо (так как 0′ alt=’d > 0′ />) и сжат или растянут. Мы складываем линейную и кусочно-линейную функции. При сложении графиков линейных функций угловой коэффициент суммы равен сумме угловых коэффициентов слагаемых.

– точка излома графика

До точки угловой коэффициент по модулю меньше, чем после точки
Значит, левее точки коэффициент равен а правее точки равен и 0. ‘ alt=’c>0. ‘ />

Находим по графику, что Получим систему

Сложив уравнения системы, получим

Подставим во второе уравнение системы, получим откуда

В точке излома графика выполняется условие тогда а так как то

Если , то . По графику

Получим уравнение откуда

Мы получили: значит, график на рисунке – это

Задачи ОГЭ по теме: Функции и графики.

Задача 10. На рисунке изображен график квадратичной функции
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.

1) 0′ alt=’f(x)>0′ /> при 2′ alt=’x>2′ />
2) Функция убывает на промежутке
3)

Решение:
Неверно, 0′ alt=’f(x)>0′ /> при
Верно, так как – вершина параболы.
Неверно,

Задача 11. Найдите значение k по графику функции изображенному на рисунке.

На рисунке изображена гипербола. Так как , то

Возьмем точку на графике с целыми координатами Подставим ее абсциссу и ординату в уравнение:

Задание 12. Найдите значение b по графику функции изображенному на рисунке.

На рисунке изображен график квадратичной функции, то есть парабола.
Абсцисса вершины параболы равна значит,

Возьмем точки графика и

Подставим их координаты в уравнение функции.

Вычтем из первого уравнения второе и получим:

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Что такое функция» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Как решать задачи на квадратичную функцию

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

Как найти нули квадратичной функции

Запомните!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .

Найти нули квадратичной функции .

Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x_1;2 =

0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3)

2 · 1

x_1;2 =

± √ 12

2

x_1;2 =

± √ 4 · 3

2

x_1;2 =

± 2√ 3

2

x_1;2 = ±√ 3

x1 = √ 3

x2 = − √ 3

Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Запомните!

Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

• вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
• решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».

При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».

Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».

Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

• приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
• решить полученное уравнение относительно « x »;
• подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».

Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».

Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.

2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (−3; 9) и (·) B (1; 1) .

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

• Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
• Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .

Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .

Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».

Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».

Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.

Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».

y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .

Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.

Запомните!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

• провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
• определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
• записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.

Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Как найти общие точки параболы и прямой?

Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0. В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox. В точке пересечения графика с осью Oy x=0. y=a∙0²+b∙0+c=с.

Как найти общую точку графиков?

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие x , а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Как найти точку пересечения параболы с осью ох?

Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

Как найти координаты точки пересечения прямой и параболы?

Точка пересечения прямой и параболы – это общая точка обеих кривых, поэтому в ней функции примут одинаковые значение, то есть f(x)=g(x). Данное утверждение позволяет записать уравнение: ax^2+bx+c=kx+h, которое даст возможность найти множество точек пересечения.

Как найти вершину параболы квадратичной функции?

Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата.

В чем разница между гиперболой и параболой?

Ключевое отличие: Парабола — это коническое сечение, которое создается, когда плоскость разрезает коническую поверхность параллельно стороне конуса. Гипербола создается, когда плоскость разрезает коническую поверхность, параллельную оси. . Соотношение известно как эксцентриситет конического сечения.

Как найти точки пересечения двух квадратичных функций?

1. приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
2. решить полученное уравнение относительно «x»;
3. подставить полученные числовые значения «x» в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Как найти точку пересечения двух графиков в Excel?

Находим точку пересечения графиков в Excel

В табличном редакторе Excel нет встроенной функции для решения подобной задачи. Линии построенных графиков не пересекаются (см. рисунок), поэтому даже визуально точку пересечения найти нельзя.

Как найти точку пересечения параболы и прямой

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

Как найти нули квадратичной функции

Запомните!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо « y » число ноль .

Найти нули квадратичной функции .

Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−3)

2 · 1

± √ 12

2

± √ 4 · 3

2

± 2√ 3

2

x1 = √ 3

x2 = − √ 3

Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Запомните!

Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

• вместо « y » подставить в функцию заданное числовое значение;
• решить полученное квадратное уравнение относительно « x ».

При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».

Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».

Ответ: при « x = 0 » и « x = 1 » функция « y = x 2 − x − 3 » принимает значение .

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

• приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся « x »);
• решить полученное уравнение относительно « x »;
• подставить полученные числовые значения « x » в любую из функций и найти координаты точек по оси « Оy ».

Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».

Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.

2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы и прямой
(·) A (−3; 9) и (·) B (1; 1) .

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

• Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
• Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Не строя графика функции « y = x 2 », определить, какие точки принадлежат ему: (·) А(2; 6) , .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) А(2; 6) .

Значит, точка (·) А(2; 6) не принадлежит графику функции .

Подставим в функцию « y = x 2 » координаты точки (·) B(−1; 1) .

Значит, точка (·) B(−1; 1) принадлежит графику функции .

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».

Запишем координаты точек пересечения графика с осью « Ox »: и .

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».

Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.

Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».

y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью « Ox »: (·) A (2; 0) и (·) B (1; 0) .
С осью « Oy »: (·)C (0; 2) .

Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится « функция принимает значения» — речь идет о значениях « y » . Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях « x », координата « y » положительна или отрицательна.

Запомните!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

• провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось « Ox »;
• определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
• записать ответ для каждого промежутка относительно « x ».

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.

Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Как найти точку пересечения параболы и прямой

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

Как найти точку пересечения параболы и прямой

04.05.2017
Открываем математику в режиме тестирования

02.05.2017
Открываем физику в режиме тестирования

29.04.2017
Открываем биологию в режиме тестирования

24.05.2017
Открываем мировую историю в режиме тестирования

19.04.2017
Открываем немецкий язык в режиме тестирования

16.04.2017
Открываем английский язык в режиме тестирования

10.04.2017
Открываем испанский язык в режиме тестирования

05.04.2017
Открываем русский язык в режиме тестирования

01.02.2017
Здесь будет город-сад!

Тип B6 № 54

Найдите где x₁, x₂  — абсциссы точек пересечения параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).

Парабола задается уравнением: На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вверх, следовательно, Кроме того, парабола касается оси Ox в точке (3;0), следовательно, уравнение параболы примет вид: Для того, чтобы найти a, подставим в уравнение параболы точку (2;1), через которую данная парабола проходит: Таким образом, изображённая на графике парабола задается уравнением