Как найти вектор, перпендикулярный вектору
Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Обозначение: $\overline
Иначе одной маленькой буквой: $\overline$ (рис. 1).
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.
Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).
Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом
$\overline<α>\overline<β>=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$
Признак перпендикулярности через пропорциональность
Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $\overline<α>$ и $\overline<β>$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство
Так как векторы $\overline<α>$ и $\overline<β>$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$. Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.
$\overline<α>\cdot \overline<β>=|\overline<α>||\overline<β>|cos90^\circ =|\overline<α>||\overline<β>|\cdot 0=0$
Достаточность: Пусть верно равенство $\overline<α>\cdot \overline<β>=0$. Докажем, что векторы $\overline<α>$ и $\overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.
По определению 6, будет верно равенство
Следовательно, векторы $\overline<α>$ и $\overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.
Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.
Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше
$\overline<α>\cdot \overline<β>=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac<3><2>=2\cdot 5+3=0$
Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.
Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение
Введем вначале понятие векторного произведения.
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
$\overline<α>х\overline<β>=\begin
Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.
Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $\overline<α>=(1,2,3)$ и $\overline<β>=(-1,0,3)$
Найдем векторное произведение данных векторов.
$\overline<α>х\overline<β>=\begin
Как найти перпендикулярный вектор
Перпендикулярными называются вектора, угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.Вам понадобится
Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая является началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно сделать при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.
Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две окружности с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше радиуса первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.
Определите перпендикулярность двух произвольных векторов. Для этого с помощью параллельного переноса постройте их так, чтобы они исходили из одной точки. Измерьте угол между ними, при помощи транспортира. Если он равен 90º, то вектора перпендикулярны.
Найдите вектор, перпендикулярный тому, координаты которого известны и равны (x;y). Для этого найдите такую пару чисел (x1;y1), которая удовлетворяла бы равенству x•x1+y•y1=0. В этом случае вектор с координатами (x1;y1) будет перпендикулярен вектору с координатами (x;y).
ПримерНайдите вектор, перпендикулярный вектору с координатами (3;4). Используйте свойство перпендикулярных векторов. Подставив в него координаты вектора, получите выражение 3•x1+4•y1=0. Подберите пары чисел, которые делают это тождество верным. Например, пара чисел x1=-4; y1=3 делает тождество верным. Значит, вектор с координатами (-4;3) будет перпендикулярен данному. Таких пар чисел можно подобрать бесконечное множество, а потому и векторов тоже бесконечно много.
Проверяйте перпендикулярность векторов при помощи тождества x•x1+y•y1=0, где (x;y) и (x1;y1) координаты двух векторов. Например, вектора с координатами (3;1) и (-3;9) перпендикулярны, так как 3•(-3)+1•9=0.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.
Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.
Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .
Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Вторая часть доказательства
При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .
По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ найдем косинус. Тогда получим cos ( a → , b → ) ^ = ( a → , b → ) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .
Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.
( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.
Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.
Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.
Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .
Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.
Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.
Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.
Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2
Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .
При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → . Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = ( a x , a y ) , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .
Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.
Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → . Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 . Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .
Ответ: b → = ( 1 2 , 1 ) .
Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α . В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .
Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .
Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .
Рассмотрим доказательство на примере.
Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.
Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )
Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.
Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.
Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →
Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .
Как найти перпендикулярные векторы: почему, как, когда, где
Прежде чем приступить к понятию того, как найти перпендикулярные векторы, сначала нам нужно узнать о векторах. Физические величины, имеющие как величину, так и направление, называются векторами.
Чтобы проиллюстрировать концепцию вектора, сначала нам нужно принять во внимание векторную величину. Например, сила является вектором. Предположим, что вес тела равен 5 Н, это означает, что величина веса равна 5 Н и он действует в направлении вниз. Если говорить о двух векторах, то при выполнении условия, что их скалярное произведение равно нулю, можно сказать, что они перпендикулярны друг другу.
Например, если мы рассмотрим скалярное произведение векторов A и B, то
Здесь x определяется как угол между двумя векторами A и B. Если мы возьмем x = 90 градусов, то значение скалярного произведения A и B равно ABcos90=0 (поскольку cos90=0). И наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то можно сказать, что они перпендикулярны друг другу.
АВ, потому что х=0
потому что х = потому что 90
Концепция перпендикулярных векторов может быть проиллюстрирована некоторыми численными задачами, написанными ниже:
Пример
Значения двух векторов A и B равны (5i+3j-8k) и (i+j+k) соответственно. Эти два вектора перпендикулярны или нет?
=5i.i+3j.j-8k.k [при ii=1,jj=1 и kk=1]
Согласно полученному ранее правилу, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, говорят, что они перпендикулярны друг другу. Следовательно, векторы А и В перпендикулярны друг другу.
Два вектора (3i+7j+7k) и (-7i-aj+7k) перпендикулярны друг другу. Найдите значение а.
Сначала нам нужно вычислить скалярное произведение этих двух векторов.
Как мы знаем, в случае перпендикулярных векторов скалярное произведение двух векторов должно быть равно 0. Итак —
Подобная концепция не используется ни в какой рабочей силе. Безработная сила – это сила, действующая перпендикулярно направлению перемещения тела.
Нет рабочей силы из Википедия
Здесь W = выполненная работа
Здесь совершенная работа равна 0, что означает, что сила не совершает никакой работы. Следовательно, это называется отсутствием рабочей силы.
Пример
Человек идет по горизонтальной поверхности с грузом на голове. Здесь совершенная работа равна 0, так как сила тяжести и его перемещение на земле перпендикулярны друг другу.
Как найти вектор, перпендикулярный двум векторам?
Здесь применяется условие, что оба вектора, на которых перпендикулярен третий вектор, должны быть непараллельными векторами. Вычислив векторное произведение двух непараллельных векторов, мы сможем получить вектор, перпендикулярный обоим из них по отдельности. Например, A и B — два непараллельных вектора, где A= (a1i+a2j+a3k) и B= (b1i+b2j+b3k), тогда их перпендикулярный вектор будет = перекрестное произведение A и B
векторное произведение двух векторов из википедия
Or, p = (a1b2k-a1b3j-a2b1k+a2b3i+a3b1j-a3b2i)
[Поскольку i*i=0,i*j=k,i*k=-j,j*j=0,j*k=i,j*i=-k,k*k=0,k*i= j,k*j=-i]
Or, p= i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)
Таким образом, искомый перпендикулярный вектор равен i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)
Теперь, если мы хотим перепроверить, перпендикулярен вектор или нет, нам нужно рассмотреть отдельные скалярные произведения pA и pB.
Таким образом, из приведенных выше вычислений видно, что перпендикулярный вектор p перпендикулярен обоим векторам A и B по отдельности. Отсюда доказано, что перекрестное произведение двух непараллельных векторов дает перпендикулярный к ним вектор.
Как найти блок вектор перпендикуляр в два векторы?
Возьмем два вектора X и Y.
Наблюдения и советы этой статьи мы подготовили на основании опыта команды перекрестное произведение X и Y = X * Y
Величина X и Y равна = |X*Y|
Таким образом, требуемый единичный вектор, перпендикулярный и X, и Y, равен =( X*Y)/ |X*Y|
Единичный вектор из википедия
Пример
A и B — два вектора, где A= (5i+5j+7k) и B= (i+j+k). Найдите единичный вектор, который перпендикулярен и А, и В.
Следовательно, единичный вектор, перпендикулярный A и B = 2(-i+j)/2.(2)^(½)
Как определить, перпендикулярны ли два вектора?
Чтобы определить, перпендикулярны ли два вектора друг другу или нет, мы должны сначала вычислить их скалярное произведение. По результату мы сможем сделать вывод, перпендикулярны векторы или нет. Значение 0 скалярного произведения означает, что векторы перпендикулярны друг другу, тогда как ненулевое значение означает, что векторы не перпендикулярны друг другу.
Пример
Вес автомобиля F=3i+3j+3k действует вниз. Его перемещение в горизонтальной плоскости равно D=-3i+3j. Что можно сказать о проделанной работе по машине?
Проделанная работа = ФД
Здесь в приведенной выше задаче скалярное произведение равно 0. Таким образом, можно сделать вывод, что F и D перпендикулярны друг другу.
Как найти равнодействующую двух перпендикулярных векторов?
результирующий векторная диаграмма из википедия
А+В=Р
Пусть есть два вектора А и В, между которыми есть угол С. Если их результирующая равна R, то величина R будет равна
R = (A ^ 2 + B ^ 2-2ABcosC) ^ (½)
Пример
На тело действуют две силы F1 и F2, причем величина F1 равна 8 Н, а величина F2 равна 6 Н, и они взаимно перпендикулярны. Чему будет равна результирующая сила?
Как найти вектор, перпендикулярный трем векторам?
Возьмем три различные точки, лежащие в одной плоскости, но не на одной прямой. Эти точки имеют три разных вектора положения, равные x, y, z соответственно. Пусть r будет вектором положения другой точки на той же плоскости, где лежат остальные три точки. Таким образом, векторы (rx), (yx) и (z-x) компланарны.. Используя формулу для компланарных векторов, можно сказать, что
Следовательно, (x*y+y*z+z*x) перпендикулярно (rx) и, следовательно, перпендикулярно плоскости трех различных точек.
Как найти перпендикулярное расстояние между двумя векторами?
Перпендикулярное расстояние — это кратчайшее расстояние между двумя векторами. Формула кратчайшего расстояния между двумя векторами:
Пример
Как найти параллельные и перпендикулярные векторы?
Мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти параллельные векторы:
ка=б
Здесь k — константа, а a и b — два вектора.
Пример
Есть два вектора a и b, значения которых равны (3i+6j) и (4i+8j) соответственно. Эти два вектора параллельны друг другу или нет?
По формуле, написанной выше ka=b
Поскольку значения k одинаковы в обоих случаях, векторы a и b параллельны друг другу.
Точно так же мы можем определить, перпендикулярны ли какие-либо два вектора, вычислив их наклоны. Если значение произведения этих наклонов равно -1, то можно сказать, что векторы являются перпендикулярными или ортогональными векторами.
Есть два вектора (3i-5j) и (5i+3j). Определите, перпендикулярны они или нет?
Следовательно, наклон a=ma=- 5/3 и наклон b=mb= ⅗
Итак, векторы а и b перпендикулярны.
Как найти перпендикулярные векторы в 3D?
Давайте возьмем пример, чтобы получить ответ.
p=(1 2 -2) и q=(-2 2 1). Эти два трехмерных вектора перпендикулярны или нет?
pq= (-2+4-2)
=0
Следовательно, p и q — два перпендикулярных трехмерных вектора.
Прежде чем начать понятие перпендикулярных векторов, сначала нам нужно узнать о векторах. Физические величины, имеющие как величину, так и направление, называются векторами.
Чтобы проиллюстрировать концепцию вектора, сначала нам нужно принять во внимание векторную величину. Например, сила является вектором. Предположим, что вес тела равен 5 Н, это означает, что величина веса равна 5 Н и он действует в направлении вниз. Если говорить о двух векторах, то при выполнении условия, что их скалярное произведение равно нулю, можно сказать, что они перпендикулярны друг другу. Например, если мы рассмотрим скалярное произведение векторов A и B, то
Здесь x определяется как угол между двумя векторами A и B. Если мы возьмем x = 90 градусов, то значение скалярного произведения A и B равно ABcos90=0 (поскольку cos90=0). И наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то можно сказать, что они перпендикулярны друг другу.
АВ, потому что х=0
потому что х = потому что 90
Концепция перпендикулярных векторов может быть проиллюстрирована некоторыми численными задачами, написанными ниже:
Пример
Значения двух векторов A и B равны (5i+3j-8k) и (i+j+k) соответственно. Эти два вектора перпендикулярны или нет?
=5i.i+3j.j-8k.k [при ii=1,jj=1 и kk=1]
Согласно полученному ранее правилу, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, говорят, что они перпендикулярны друг другу. Следовательно, векторы А и В перпендикулярны друг другу.
2) Два вектора (3i+7j+7k) и (-7i-aj+7k) перпендикулярны друг другу. Найдите значение а.
Сначала нам нужно вычислить скалярное произведение этих двух векторов.
Как мы знаем, в случае перпендикулярных векторов скалярное произведение двух векторов должно быть равно 0. Итак —
Подобная концепция не используется ни в какой рабочей силе. Безработная сила – это сила, действующая перпендикулярно направлению перемещения тела.
Здесь W = выполненная работа
Здесь совершенная работа равна 0, что означает, что сила не совершает никакой работы. Следовательно, это называется отсутствием рабочей силы.
Пример
Человек идет по горизонтальной поверхности с грузом на голове. Здесь совершенная работа равна 0, так как сила тяжести и его перемещение на земле перпендикулярны друг другу.
Как найти вектор, перпендикулярный двум векторам?
Здесь применяется условие, что оба вектора, на которых перпендикулярен третий вектор, должны быть непараллельными векторами. Вычислив векторное произведение двух непараллельных векторов, мы сможем получить вектор, перпендикулярный обоим из них по отдельности.
Например, A и B — два непараллельных вектора, где A= (a1i+a2j+a3k) и B= (b1i+b2j+b3k), тогда их перпендикулярный вектор будет = перекрестное произведение A и B
Or, p = (a1b2k-a1b3j-a2b1k+a2b3i+a3b1j-a3b2i)
[Поскольку i*i=0,i*j=k,i*k=-j,j*j=0,j*k=i,j*i=-k,k*k=0,k*i= j,k*j=-i]
Or, p= i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)
Таким образом, искомый перпендикулярный вектор равен i(a2b3-a3b2)+j(a3b1-a1b3)+k(a1b2-a2b1)
Теперь, если мы хотим перепроверить, перпендикулярен вектор или нет, нам нужно рассмотреть отдельные скалярные произведения pA и pB.
Таким образом, из приведенных выше вычислений видно, что перпендикулярный вектор p перпендикулярен обоим векторам A и B по отдельности. Отсюда доказано, что перекрестное произведение двух непараллельных векторов дает перпендикулярный к ним вектор.
Как найти единичный вектор, перпендикулярный двум векторам?
Возьмем два вектора X и Y.
Перекрестное произведение X и Y равно X*Y
Величина X и Y равна = |X*Y|
Таким образом, требуемый единичный вектор, перпендикулярный и X, и Y, равен =( X*Y)/ |X*Y|
Пример
A и B — два вектора, где A= (5i+5j+7k) и B= (i+j+k). Найдите единичный вектор, который перпендикулярен и А, и В.
Следовательно, единичный вектор, перпендикулярный A и B = 2(-i+j)/2.(2)^(½)
Как определить, перпендикулярны ли два вектора?
Чтобы определить, перпендикулярны ли два вектора друг другу или нет, мы должны сначала вычислить их скалярное произведение. По результату мы сможем сделать вывод, перпендикулярны векторы или нет. Значение 0 скалярного произведения означает, что векторы перпендикулярны друг другу, тогда как ненулевое значение означает, что векторы не перпендикулярны друг другу.
Пример
Вес автомобиля F=3i+3j+3k действует вниз. Его перемещение в горизонтальной плоскости равно D=-3i+3j. Что можно сказать о проделанной работе по машине?
Проделанная работа = ФД
Здесь в приведенной выше задаче скалярное произведение равно 0. Таким образом, можно сделать вывод, что F и D перпендикулярны друг другу.
Как найти равнодействующую двух перпендикулярных векторов?
Пусть есть два вектора А и В, между которыми есть угол С. Если их результирующая равна R, то величина R будет равна
R = (A ^ 2 + B ^ 2-2ABcosC) ^ (½)
Пример
На тело действуют две силы F1 и F2, причем величина F1 равна 8 Н, а величина F2 равна 6 Н, и они взаимно перпендикулярны. Чему будет равна результирующая сила?
Как найти вектор, перпендикулярный трем векторам?
Возьмем три различные точки, лежащие в одной плоскости, но не на одной прямой. Эти точки имеют три разных вектора положения, равные x, y, z соответственно. Пусть r будет вектором положения другой точки на той же плоскости, где лежат остальные три точки.
Таким образом, векторы (rx), (yx) и (z-x) компланарны. Используя формулу для компланарных векторов, можно сказать, что
Следовательно, (x*y+y*z+z*x) перпендикулярно (rx) и, следовательно, перпендикулярно плоскости трех различных точек.
Как найти перпендикулярное расстояние между двумя векторами?
Перпендикулярное расстояние — это кратчайшее расстояние между двумя векторами. Формула кратчайшего расстояния между двумя векторами: