Как найти наименьшее значение выражения

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения

Одной из задач математики является нахождение экстремумов функций. Экстремумы — это максимальные и минимальные значения функции на заданном промежутке. В данной статье мы рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение выражения.

Что такое выражение?

Выражение — это математическое выражение, которое содержит числа, переменные и знаки операций. Например, выражение 2x + 3 содержит переменную x, числа 2 и 3, а также знаки операций "+" и "=".

Как найти наибольшее и наименьшее значение выражения?

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение выражения, нужно найти производную функции, соответствующей данному выражению, и решить уравнение f'(x) = 0, где f(x) — это функция, соответствующая выражению.

Это уравнение даёт точки экстремума функции. Чтобы понять, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, необходимо проанализировать знак производной в окрестности найденной точки. Если производная меняет знак с "плюса" на "минус", то точка является максимумом, а если с "минуса" на "плюс", то минимумом.

Пример 1:

Дано выражение: x^2 — 4x + 5.

Найдём производную функции: f'(x) = 2x — 4.

Решим уравнение f'(x) = 0: 2x — 4 = 0 => x = 2.

Найдем значение функции в найденной точке: f(2) = 1.

Таким образом, значение выражения x^2 — 4x + 5 имеет минимум в точке (2, 1).

Пример 2:

Дано выражение: x^3 — 3x^2 + 2.

Найдём производную функции: f'(x) = 3x^2 — 6x.

Решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 — 6x = 0 => x(x — 2) = 0 => x = 0, x = 2.

Найдем значение функции в найденных точках: f(0) = 2, f(2) = 2.

Таким образом, значение выражения x^3 — 3x^2 + 2 имеет минимум в точке (0, 2), а максимум в точке (2, 2).

Заключение

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения можно, найдя производную функции, соответствующей данному выражению, и решив уравнение f'(x) = 0. Найденные точки экстремума позволяют определить максимальное и минимальное значение функции в заданном промежутке.

Как найти наименьшее значение выражения:

Для нахождения наименьшего значения выражения необходимо использовать основные методы математического анализа: нахождение производных, определение точек экстремума, проверка на выпуклость и т.д.

А) (15x^2+2)^2-4

Шаг 1: Найти производную

Сначала найдем производную данного выражения:

(15x^2 + 2)^2 — 4 = (225x^4 + 60x^2 + 4) — 4

(225x^4 + 60x^2)’ = 900x^3 + 120x

Шаг 2: Найти точки экстремума

Для того, чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:

x = 0, x = ±sqrt(-2/3)*i

Единственная реальная точка экстремума находится в x = 0.

Шаг 3: Проверить на выпуклость

Для того, чтобы проверить на выпуклость, найдем вторую производную:

(225x^4 + 60x^2)" = 5400x^2 + 120

Так как вторая производная положительна, то это подтверждает, что x = 0 — точка минимума.

Шаг 4: Найти минимальное значение

Min((15x^2+2)^2-4) = (15*0^2+2)^2-4 = -4

Б) x^2-4x-6

Шаг 1: Найти производную

x^2 — 4x — 6 = (x-2)^2 — 6

Шаг 2: Найти точки экстремума

Шаг 3: Проверить на выпуклость

Вторая производная равна 2, что говорит о том, что точка экстремума является точкой минимума.

Шаг 4: Найти минимальное значение

Min(x^2-4x-6) = (2-2)^2-6 = -6

В) 3x^2+5x+11

Шаг 1: Найти производную

Шаг 2: Найти точки экстремума

Шаг 3: Проверить на выпуклость

Вторая производная равна 6, что говорит о том, что точка экстремума является точкой минимума.

Работа с функциями: обнаружение максимума и минимума

Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.

Максимум

Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:

Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x₀). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x₀).

Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».

Минимум

Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.

Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:

Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x₀), которое при любом значении x€ X, x≠x₀ делает справедливым неравенство f(x)≥f(x₀).

Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x₀, а минимум – самое маленькое.

Стационарные точки

При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.

Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.

Здесь рекомендуется запомнить следующее:

1. Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
2. Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
3. Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.

Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.

План действий

Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.

Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:

1. Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
2. Если запись непрерывная – ищем производную.
3. После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
4. Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
5. Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
6. Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».

Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).

На отрезке

Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.

Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.

Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.

Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.

Открытый интервал

Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.

1. Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
2. Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
3. На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.

Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.

Бесконечность

Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:

На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.

Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.

Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.

Неравенство треугольника и наименьшее значение выражения. ДВИ МГУ 2016

В этой статье вы найдете пошаговое решение 8 задачи из ДВИ в МГУ 2016.

Найдите наименьшее значение выражения

и все пары , при которых оно достигается.

Вынесем показатель степени за знак логарифма. Так как (по ОДЗ) получим:

Выделим под каждым корнем полный квадрат:

Введем замену переменной:

Тогда

Тогда исходное выражение приобретает такой вид:

(1)

Мы видим под корнем сумму квадратов двух выражений. Квадратный корень из суммы квадратов имеет геометрическую интерпретацию.

Пусть на координатной плоскости Oxy даны две точки и . Расстояние между этими точками вычисляется по формуле

То есть выражение (1) можно интерпретировать как сумму длин трех отрезков.

Вспомним неравенство треугольника: сторона треугольника меньше суммы двух других.

Для трех произвольных точек это неравенство становится нестрогим, и выполняется равенство, если три точки лежат на одной прямой:

Неравенство треугольника, сформулированное для векторов, звучит так:

сумма длин двух векторов не меньше длины вектора, равного сумме этих векторов.

Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда вектора сонаправлены.

Вектора и сонаправлены, если их координаты пропорциональны. То есть если выполнено условие:

Длины векторов соответственно равны:

Вернемся к выражению

Первый корень мы можем рассматривать как длину вектора , где точка имеет координаты , а координаты точки . (Заметим, что точка может иметь координаты )

Второй корень мы можем рассматривать как длину вектора , где точка имеет координаты , а координаты точки . (Или

Третий корень мы можем рассматривать как длину вектора , где точка имеет координаты , а координаты точки . (Или .

В этом случае мы получим такую картинку (пусть ):

При таком расположении векторов нам не удастся найти значения и так, чтобы вектора были сонаправлены. Поскольку мы можем некоторым образом варьировать их расположение, рассмотрим такую конфигурацию (здесь вектора «смотрят в одном направлении»):

Итак, координаты векторов должны быть пропорциональны.

Получим систему уравнений:

Отсюда

Вернемся к исходной переменной:

.

Отсюда , при условии

Эти условия выполняются если

Отсюда

Значение выражения равно

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.