Как найти косинус зная тангенс

Как найти синус и косинус через тангенс?

довольно часто при решении уравнений и упрощении тригонометрических выражений требуется найти синус или косинус через тангенс.

Для этого существуют специальные формулы. Итак, для нахождения косинуса нужно извлечь квадратный корень из дроби в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс в квадрате.

А вот для того, чтобы найти синус нужно извлечь квадратный корень из выражения один минус дробь

в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс в квадрате.

Но нужно обратить на знак синуса и косинуса, в зависимости от того в какой четверти находится угол. И если синус находим, то в 3 и 4 четвертях он будет отрицателен, а если косинус, то во второй и третьей.

Косинус через тангенс

Для того, чтобы найти значение косинуса по известному тангенсу, нужно воспользоваться одним из тригонометрических тождеств.

Сумма квадрата тангенса и единицы равна отношению единицы и квадрата косинуса.

Отсюда можно выразить косинус:

Наличие знака ± связано с тем, что в одних четвертях косинус угла может быть положительным, а в других — отрицательным.

То есть в условии задачи должна оговариваться четверть, в которой находится угол.

tgα = 1/√3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём косинус: cosα = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

Итак, если тангенс равен 1/√3, то косинус равен √3/2.

Нетрудно догадаться, что мы имели дело с углом 30°.

Синус через тангенс

Здесь также понадобятся тригонометрические тождества.

Можно пойти двумя путями:

1) Выразить котангенс через тангенс и найти синус по котангенсу.

2) Найти косинус по тангенсу, а затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

tgα = √3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём котангенс: ctga = 1 / tgα = 1 / √3.

Теперь найдём синус: sina = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

cosa = √ ( 1 / (1 + 3)) = √ (1/4) = 1/2.

sina = √ (1 — 1/4) = √ (3/4) = √3/2.

Таким образом, если тангенс равен √3, то синус равен √3/2.

Здесь также понятно, что это угол 60°.

Для этого существуют вполне определённые математические тригонометрические формулы. Например, косинус любого угла можно найти, зная его тангенс, исходя из соотношения что он равен корню квадратному из дроби, в числителе которой будет единица, а в знаменателе квадрат тангенса плюс единица. Только надо учитывать момент, что он может быть положительным и отрицательным.

Зная косинус, несложно вычислить и синус любого угла, если вспомнить, что сумма их квадратов всегда равна единице. Также можно найти котангенс этого угла, разделив 1 на тангенс, а дальше воспользоваться аналогичной приведённой в первом абзаце формулой для синуса и котангенса.

Синус и косинус через тангенс можно найти:

1 — По таблице значений тригонометрических функций некоторых углов.

2 — Через вычисления по формулам тригонометрических тождеств. Сначала находим косинус, затем по нему синус.

3 — Через универсальные тригонометрические подстановки (полуугловые подстановки). Такой способ обычно используют при вычислении интегралов, он дает приближенный результат.

Возьмем tg = √3. По таблице sin = √3/2 ≈ 0,866. По второму способу sin = √(1-1/4) ≈ 0,866. По третьему способу sin = √3/(7/4) ≈ 0,9897.

Приведу на всякий случай, на мой взгляд, наиболее общий способ нахождения синуса и косинуса по тангенсу. Как говорится определил знак подставил в выражение и получил ответ.

В алгебре и геометрии очень часто при решении задач используются тригонометрические формулы, которые чаще называют тригонометрическими тождествами. Из любого тригонометрического тождества несложно вывести новую формулу, необходимую для нахождения одной из величин, входящих в его состав.

Для того, чтобы найти косинус угла, зная его тангенс, возьмем тригонометрическое тождество:

Из данного тождества выводим новую формулу для вычисления косинуса:

Не забываем, что косинус может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от четверти нахождения угла.

Для вычисления синуса угла через его тангенс можно действовать по-разному.

Например, вычислить по выведенной выше формуле косинус угла, а затем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством и вывести из него формулу для вычисления синуса угла:

В тригонометрических тождествах нет, конечно, ничего сложного, вот только запомнить их все так, чтобы не пользоваться справочными материалами, обычному человеку достаточно трудно, поэтому всегда приходится где-то искать эти формулы. Вот одна из них:

Из нее то мы и будем получать формулу для выполнения задания из вопроса, а именно — нахождения косинуса через тангенс, проведя несложные преобразования, получим:

Как видите, действительно все очень просто.

Теперь, найдя косинус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразуем его, чтобы найти синус через уже найденный косинус, формула такая:

конечно тангенс угла- это отношение синуса этого угла к косинусу того же угла- условно- а/б= с и а= с*в, в= а/с, сразу видно, что, кроме с, что- нибудь еще должно быть дано иначе не расколоть задачку, разве с будет равно 1 или еще какому замечательному значению, позволяющему определить величину угла угла.

Синус, косинус и тангенс являются тригонометрическими функциями. Исторически они возникли как отношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому их удобнее вычислять через прямоугольный треугольник. Однако через него могут быть выражены только тригонометрические функции острых углов. Для тупых углов вам нужно будет вставить окружность.

Иногда, необходимо найти синус или косинус через тангенс. Для этого существуют специальные формулы. Итак, чтобы найти косинус, нужно извлечь квадратный корень из дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс к квадрату.

Но чтобы найти синус, нужно извлечь квадратный корень из выражения один минус дробь в числителе которого единица, а в знаменателе выражение равно единице плюс касательная к квадрату.

Но нужно обращать внимание на знак синуса и косинуса в зависимости от того, в какой четверти находится угол. И если мы найдем синус, то в 3-й и 4-й четвертях он будет отрицательным, а если косинус — во 2 и 3.

Как найти косинус через тангенс?

Пиши ответы и зарабатывай! Вамбер платит до 2.5 руб. за каждый ответ. Всё что нужно — это пройти регистрацию и писать хорошие ответы. Платим каждую неделю на сотовый телефон или yoomoney (Яндекс Деньги). Правила здесь.

Мне нравилась тригонометрия! Интересно же и умно! Тангенс это есть отошение синуса угла к косинуса угла. То есть косинус стоит в знаменателе дроби.

Если у вас есть величина угла, тригонометрические таблицы их значений, то вы можете вывести пропорцию.

Тангенс — это синус/ косинус этого же угла. Отсюда косинус равен синус угла/ тангенс угла.

Ещё есть огромный перечень тригонометрических формул, примеры задач, что вы решали в классе. Просто возьмите ваши данные и подставьте в эти формулы!

Вот ещё одна формула.

Косинус в квардрате х = 1/ (1 + тангенс в квадрате х). Сначала вычислите квадрат косинуса, потом просто извлечёте квадратный корень из полученного значения! Эта формула есть в вашем учебнике!

Просмотрите все тригонометрические формулы, и вы найдёте правильную, нужную!

Если же вы решаете геометриескую задачу, то огромное значение имеет построение правильного чертежа!

Если вы нарисовали чертёж неправильно, то задачу невозможно будет решить верно! Надо иметь пространственное мышление, и желательно, помнить основные формулы. Ведь их всё равно сдавать на контрольной работе или на экзамене!

Как найти синус и косинус, зная тангенс и катангенс?

Вычислить косинус а тангенс а катангенс а если синус а = 12 / 13 а пренадлежит от п / 2 до п?

Вычислить косинус а тангенс а катангенс а если синус а = 12 / 13 а пренадлежит от п / 2 до п.

Значения синуса косинуса тангенса?

Значения синуса косинуса тангенса.

Как найти синус зная косинус например косинус равен 0?

Как найти синус зная косинус например косинус равен 0.

7 сколько будет равен синус ?

Напишите формулу или как это проще сделать.

Какие числа являются периодами функции синуса и косинуса ; тангенса и котангенса?

Какие числа являются периодами функции синуса и косинуса ; тангенса и котангенса?

Вычислить косинус альфа тангенс альфа синус 2альфа если синус альфа = 4 : 5 и пи : 2меньше альфа меньше пи?

Вычислить косинус альфа тангенс альфа синус 2альфа если синус альфа = 4 : 5 и пи : 2меньше альфа меньше пи.

Найдите синус и тангенс, если косинус равен 2 / 3 ( с решением пожалуйста )?

Найдите синус и тангенс, если косинус равен 2 / 3 ( с решением пожалуйста ).

Помогите пожалуйста ?

Дано : косинус альфа равен √2 \ 2 найти синус альфа и тангенс альфа.

Тест по синусам, косинусам, тангенсам?

Тест по синусам, косинусам, тангенсам.

Объясните пожалуйста как искать синус, косинус и тангенс этого угла(на рисунке)?

Объясните пожалуйста как искать синус, косинус и тангенс этого угла(на рисунке).

Помогите пожалуйста?

Нужно указать знак синуса, косинуса и тангенса острого и тупого угла.

Вопрос Как найти синус и косинус, зная тангенс и катангенс?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Формулы связи тригонометрических функций. Примеры из ЕГЭ

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

\(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1\)
\(tg\, 3x\cdot ctg\, 3x=1\)

\(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1\)
\(tg\, x\cdot ctg\, y≠1\)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения , заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите \(5sin⁡\,α\), если \(cos\,⁡α=\frac<2\sqrt<6>><5>\) и \(α∈(\frac<3π><2>;2π)\).
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

Подставим вместо косинуса его значение:

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида \(x^2=a\) (при \(a>0\)) два корня \(x_1=\sqrt\) и \(x_2=-\sqrt\). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение \(\frac<1><5>\) , а может \(-\) \(\frac<1><5>\) . И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что \(α∈(\frac<3π><2>;2π)\). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок \((\frac<3π><2>;2π)\).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае \(sin\,⁡α=-\frac<1><5>\) т.е. \(5sin\,⁡α=5\cdot(-\frac<1><5>)=-1\).

Пример.Найдите \(tg\,α\), если \(cos\,⁡α=\) \(\frac<\sqrt<10>><10>\) и \(α∈(\frac<3π><2>;2π)\).
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу \(tg^2α+1=\) \(\frac<1>\) ;
— сначала с помощью тождества \(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\) найти \(sin⁡\,α\), а потом через формулу \(tg\,α=\) \(\frac\) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Пример. Известно, что \(tg\,α=-\frac<3><4>\) и \(\frac<π><2><α<π\). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла \(α\).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок \((\frac<π><2>;π)\) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит \(cos\,⁡α=-\) \(\frac<4><5>\) .

Осталось найти синус:

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Пример (ЕГЭ). Найдите \(tg^2 α\), если \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\) синус заменим на косинус:

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения \(tg^2α\) хорошо подходит формула \(tg^2α+1=\) \(\frac<1>\) :

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение \(\frac<1>\) \(-ctg^2 α-cos^2 β\).
Решение.

Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.