Как найти корень из большого числа

Как найти корень из большого числа

В профильном ЕГЭ по математике не выдаются справочные материалы, поэтому необходимо уметь извлекать корни из больших чисел.

Есть простой способ, позволяющий с легкостью это делать!

Найдем корень из числа 5184

1. Оценим, между квадратами каких чисел, кратных 10, находится число, стоящее под корнем:

Например, между 50 и 60, между 30 и 40, между 100 и 110.

Число 5185 находится между числами 4900 и 6400, так как

Это можно записать следующим образом: 4900 < 5185 < 6400

(Если вы забыли, как оценивать корни, вы можете прочитать об этом здесь

2. Извлечем корни из правой и левой частей неравенства:

Значит, наш корень может равняться 71,72, 73,…79. Но какое число выбрать?

3. Смотрим на последнюю цифру числа. И вспоминаем, какие цифры при возведении в квадрат на конце дают это число? В нашем случае, это цифра 4

Как извлечь корень из большого числа?

Пусть нам нужно вычислить 8649. Мы понимаем, что 1002= 10000, следовательно, наш ответ меньше 100. Применяя знания таблицы умножения, вспоминаем, что 902= 8100, тогда сужаем круг поиска: 90<x<100 (где x -наш ответ). Последняя цифра числа из условия – 9, следовательно, остаётся проверить лишь числа 93 и 97. И тут мы останавливаемся на числе 93, так как число 8649 находится ближе к 8100, чем к 10000.

2 способ:

Пусть нужно вычислить 110889. Для этого разложим число на простые множители.
Получаем: 110889 = 34✕ 372
110889=32✕37=333

Извлечение корня из большого числа

А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, $\sqrt<86436>$.

Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже $0,7$ на $0,5$ умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…

Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…

Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.

Извлекаем квадратный корень из большого числа

Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.

Случай 1 + показать

Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из $86436.$

Мы будем раскладывать число $86436$ на простые множители. Делим на $2,$ – получаем $43218;$ снова делим на $2,$ – получаем $21609.$ На $2$ больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на $3,$ то и само число делится на $3$ (вообще говоря, видно, что оно и на $9$ делится). $21609:3=7203$. Еще раз делим на $3,$ – получаем $2401.$ $2401$ на $3$ нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой $0$ или $5).$

Подозреваем делимость на $7.$ Действительно, $2401:7=343,$ а $343:7=49$, $49=7\cdot 7.$

Итак, $86436=2^2\cdot 3^2\cdot 7^4.$ Полный порядок!

Случай 2 + показать

Пусть нам нужно вычислить $\sqrt<1849>$. Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…

На $2$ число $1849$ нацело не делится (не является четным)…

На $3$ нацело не делится (сумма цифр не кратна $3$)…

На $5$ нацело не делится (последняя цифра – не $5$ и не $0$)…

На $7$ нацело не делится, на $11$ не делится, на $13$ не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?

Будем рассуждать несколько иначе.

Мы понимаем, что

Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от $41$ до $49.$ Причем ясно, что раз последняя цифра числа – $9,$ то останавливаться стоит на вариантах $43$ или $47,$ – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру $9.$

Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на $43.$ Действительно, $43^2=1849.$

Как быстро извлекать квадратные корни

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
.
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

[Подпись к рисунку]

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

[Подпись к рисунку]

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

[Подпись к рисунку]

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный 🙂

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Смотрим на последнюю цифру:

Возводим в квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Смотрим на последнюю цифру:

Возводим в квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Смотрим на последнюю цифру:

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?