5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)
Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.
Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением в прямоугольной (!) системе координат, то вектор является нормальным вектором данной плоскости.
Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:
Задача 134
Найти единичный нормальный вектор плоскости .
Решение: принципиально ситуация выглядит так:
Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .
И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .
Вычислим длину вектора нормали:
Контроль:, ОК
Ответ:
Вспоминаем, что координаты этого вектора – есть в точности направляющие косинусы вектора : .
И, как говорится, обещанного три страницы ждут 🙂 – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .
Проверяем:
Во-первых, подставим координаты точки в полученное уравнение:
– получено верное равенство, значит, точка лежит в данной плоскости.
На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы параллельны плоскости, а вектор ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:
Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.
В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор параллелен плоскости в том и только том случае, когда .
Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:
Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости
Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.
Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.
Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.
Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.
Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.
Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости
Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.
Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .
По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.
Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .
Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .
По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .
При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .
Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Вектор нормали
Найти вектор нормали 
в точке 
, образующий острый угол с положительным направлением оси 
.
Имеем: 
, градиент 
в точке 
будет 
.
Примем 
Нахожу скалярное произведение: 
В этом разделе, посвященном векторам нормалей, мы рассмотрим следующие темы:
- Что такое нормальный вектор?
- Как найти нормальный вектор?
- Какая формула нормальных векторов?
- Примеры
- Проблемы практики
Что такое нормальный вектор?
Вектор нормали — это вектор, наклоненный под углом 90 °.° на плоскости или ортогонален всем векторам.
Прежде чем погрузиться в концепцию векторов нормалей, давайте сначала рассмотрим термин «нормальный».
В математических терминах или, точнее, в геометрических терминах, термин «нормальный» определяется как перпендикулярный любой указанной поверхности, плоскости или вектору. Мы также можем заявить, что нормальность означает, что вектор или любой другой математический объект направлен под углом 90 ° к другой плоскости, поверхности или оси.
Теперь, когда мы знаем, что означает термин «нормальный» в математической области, давайте проанализируем векторы нормалей.
Векторы нормали наклонены под углом 90 ° к поверхности, плоскости, другому вектору или даже оси. Его представление показано на следующем рисунке:
Концепция нормальных векторов обычно применяется к единичным векторам.
Нормальные векторы — это векторы, которые перпендикулярны или ортогональны другим векторам. Если говорить о технической стороне дела, существует бесконечное количество нормальных векторов к любому заданному вектор в качестве единственного стандарта для любого вектора, который следует рассматривать как вектор нормали, состоит в том, что они наклонены под углом из 90 0 к вектору. Если мы рассмотрим скалярное произведение вектора нормали и любого заданного вектора, то скалярное произведение равно нулю.
а. п = | а | | n | cos (90)
Точно так же, если мы рассматриваем перекрестное произведение вектора нормали и данного вектора, то это эквивалентно произведению величин обоих векторов как sin (90) = 1.
а х п = | а | | n | грех (90)
а х п = | а | | n |
Сфера векторной геометрии — это разные векторы и то, как мы можем практически включить эти направленные математические объекты в нашу повседневную жизнь. Будь то инженерная, архитектурная, авиационная или даже медицинская сфера, любая реальная проблема не может быть решена без реализации концепций векторов. Короче говоря, можно сделать вывод, что каждая практическая задача требует векторного решения.
Из-за такого значения векторов в нашей повседневной жизни понимание роли и концепции каждого вектора становится главным приоритетом для математиков и студентов. Среди этих векторов первостепенное значение имеет вектор нормали.
Каждый вектор имеет некоторую величину и направление. В математике величина вектора является наиболее важным фактором, но в некоторых случаях величина не так уж и важна. Это полностью зависит от требований. В некоторых случаях нам требуется только направление. Поэтому в таких случаях величина не нужна. Следовательно, мы можем сказать, что направление вектора уникально. Мы можем рассматривать эту концепцию и геометрически; вектор нормали к плоскости находится на этой линии, и на этой линии существует несколько векторов, перпендикулярных плоскости. Итак, направление привносит в систему уникальность.
Теперь давайте решим пример, чтобы лучше понять нормальные векторы.
Найдите векторы нормали к данной плоскости 3x + 5y + 2z.
Для данного уравнения вектор нормали равен,
Так что п вектор — вектор нормали к данной плоскости.
Мы заявляли ранее в нашей предыдущей теме «Единичные векторы’ что эти векторы имеют величину 1 и перпендикулярны остальным осям плоскости. Поскольку единичный вектор вдоль оси перпендикулярен остальным осям, единичный вектор также может попадать в область нормальных векторов. Эта концепция подробно описана ниже:
Единичный нормальный вектор
Единичный вектор нормали определяется как:
«Вектор, перпендикулярный плоскости или вектору и имеющий величину 1, называется единичным нормальным вектором».
Как мы заявили выше, векторы нормалей направлены под углом 90 °. Мы уже обсуждали, что единичные векторы также перпендикулярны или направлены под углом 90 ° к остальным осям; следовательно, мы можем смешать эти два термина. Совместное понятие называется единичным нормальным вектором, и на самом деле это подкатегория нормальных векторов.
Мы можем отличить единичные векторы нормали от любого другого вектора нормали, заявив, что любой вектор нормали с величиной 1 может быть объявлен единичным вектором нормали. Такие векторы будут иметь величину 1 и также будут направлены точно под углом 90 ° от любой конкретной поверхности, плоскости, вектора или соответствующей оси. Представление такого вектора можно изобразить, поместив шляпу (^) поверх вектора п , п (^).
Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание, — это распространенное заблуждение и заблуждение, с которым сталкиваются некоторые математики и студенты при проверке этой концепции. Если у нас есть вектор v , то следует отметить, что нельзя смешивать концепции единичного вектора и вектора нормали. Единичные векторы вектора v будут направлены по осям плоскости, в которой вектор v существуют. Напротив, нормальный вектор был бы вектором, который был бы специфическим для вектора v. Единичный вектор нормали в данном случае — это единичные векторы вектора v, не нормальный вектор, который находится под углом 90 ° от вектора v .
Единичный вектор задается как,
ты = а / | а |
Где | r | — величина вектора и ты — единичный вектор.
Давайте обсудим концепцию единичных нормальных векторов на примере.
Найдите нормальный единичный вектор, когда вектор задан как v = <2, 3, 5>
Как мы знаем, единичный вектор — это вектор с величиной, равной 1, и направлением вдоль направления данного вектора.
Итак, единичный вектор задается как,
ты = 1. ( v / | v | )
Следовательно, величина вектора задается как
| v | = √ ( (2)^ 2 + (3)^ 2 + (5)^ 2 )
| v | = √ ( 4 + 9 + 25 )
Теперь, подставив значения в вышеупомянутую формулу, получим:
ты = 1. ( < (2 / √ (38) ) + (3 / √ (38) ) + (5 / √ (38) ) >)
ты = < (2 / √ (38) ) + (3 / √ (38) ) + (5 / √ (38) ) >
Нормальный вектор и перекрестное произведение
Как мы знаем, это перекрестное произведение дает вектор, перпендикулярный обоим векторам А а также Б. Его направление задается правилом правой руки. Следовательно, эта концепция очень полезна для генерации вектора нормали. Итак, можно сказать, что вектор нормали — это векторное произведение двух данных векторов. А а также Б.
Давайте разберемся в этой концепции на примере.
Рассмотрим два вектора PQ = <0, 1, -1> и RS = . Вычислите вектор нормали к плоскости, содержащей эти два вектора.
Поскольку мы знаем, что произведение двух векторов дает вектор нормали, поэтому
| PQ x RS | = я j k
| PQ x RS | = я ( 0 + 1 ) – j ( 0 – 2 ) + k ( 0 + 2 )
| PQ x RS | = 1 я + 2 j + 2 k
Следовательно, это нормальный вектор.
Условия для нормального вектора
Как мы знаем, мы можем найти вектор нормали, используя перекрестное произведение. Точно так же существуют два условия для того, чтобы векторы были ортогональными или перпендикулярными.
- Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.
- Два вектора называются перпендикулярными, если их векторное произведение равно 1.
Чтобы проверить наш результат, мы можем использовать два упомянутых выше условия.
Убедимся в этом на примерах.
Покажите, что два вектора v = <1, 0, 0> и ты = <0, -2, -3> перпендикулярны друг другу.
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то два вектора перпендикулярны друг другу.
Итак, скалярное произведение векторов ты а также v дается как,
u. v = 1 – 0 – 0
Следовательно, доказано, что два вектора перпендикулярны друг другу.
Единичные касательные векторы
Когда мы обсуждаем единичные векторы нормали, появляется другой тип, называемый единичными касательными векторами. Чтобы понять концепцию, давайте рассмотрим вектор р (t) быть дифференцируемой вектор-функцией и v (t) = р’ (t), то единичный касательный вектор с направлением в направлении вектора скорости задается как,
т (t) = v (t) / | v (t) |
где | v (t) | — величина вектора скорости.
Давайте лучше поймем эту концепцию на примере.
Рассмотреть возможность р (t) = t 2 я + 2т j + 5 k , найти единичный касательный вектор. Также вычислите значение касательного вектора при t = 0.
В соответствии с формулой, касательная к единице вектор задается как,
т (t) = v (t) / | v (t) |
куда v (t) = р’ (т)
Давайте посчитаем стоимость v (т)
v (t) = 2t я + 2 j
теперь, вычисляя значение величины вектора v (t), который задается как,
Подставляя значения в формулу единичного касательного вектора, получаем,
т (t) = (2t я + 2 j ) / (√ (4t ^ 2 + 4 ) )
Теперь, найдя значение т (0),
т (0) = 2 j / ( √(4) )
т (0) = 2 j / ( 2)
т (0) = 1 j
Рассмотреть возможность р (t) = e т я + 2т 2 j + 2т k , найти единичный касательный вектор. Также вычислите значение касательного вектора при t = 1.
Согласно формуле единичный касательный вектор задается как,
т (t) = v (t) / | v (t) |
куда v (t) = р’ (т)
Давайте посчитаем стоимость v (т)
v (т) = е ^ т я + 4т j + 2 k
теперь, вычисляя значение величины вектора v (t), который задается как,
| v | = √ (e ^ 2т + 16т ^ 2 + 4 )
Подставляя значения в формулу единичного касательного вектора, получаем,
т (t) = (e ^ т я + 4т j + 2 k ) / (√ (e ^ 2т + 16т ^ 2 + 4 ) )
Теперь, найдя значение т (1),
т (1) = (e ^ 1 я + 4 (1) j + 2 k ) / (√ (e ^ 2(1) + 16 (1)^ 2 + 4 ) )
т (1) = (e ^ 1 я + 4 j + 2 k ) / (√ (e ^ 2 + 16 + 4 ) )
т (1) = (e я + 4 j + 2 k ) / (√ (e ^ 2 + 20 ) )