Как найти длину образующей цилиндра

Как найти диаметр и образующую прямого цилиндра с указанными параметрами

Цилиндр — это геометрическое тело, которое можно представить в виде бочки. У прямого цилиндра все грани являются параллельными, а базами цилиндра являются две окружности.

Если вам необходимо найти диаметр или образующую прямого цилиндра с указанными параметрами, то вам потребуется использовать следующие формулы.

Нахождение диаметра прямого цилиндра

Диаметр цилиндра — это расстояние между двумя его противолежащими точками на окружностях, которые являются его базами.

Формула для нахождения диаметра прямого цилиндра:

d = 2r

где d — диаметр, r — радиус окружности основания.

Нахождение образующей прямого цилиндра

Образующая — это длинная и тонкая боковая поверхность цилиндра, которая связывает две его базы.

Формула для нахождения образующей прямого цилиндра:

l = h^2 + r^2

где l — образующая, h — высота цилиндра, r — радиус окружности основания.

Примеры расчетов

Пример 1

Дано: высота h = 10 см , радиус окружности основания r = 5 см .

Найти: диаметр d и образующую l прямого цилиндра.

1. Диаметр прямого цилиндра:
   • d = 2r
   • d = 2 * 5 = 10 см
2. Образующая прямого цилиндра:
   • l = h^2 + r^2
   • l = 10^2 + 5^2
   • l = 125 см

Ответ: диаметр d = 10 см , образующая l = 125 см .

Пример 2

Дано: диаметр d = 14 мм , высота h = 25 мм .

Найти: образующую l прямого цилиндра.

1. Радиус окружности основания:
   • r = d/2
   • r = 14/2
   • r = 7 мм
2. Образующая прямого цилиндра:
   • l = h^2 + r^2
   • l = 25^2 + 7^2
   • l = 654 мм

Ответ: образующая l = 654 мм .

Вывод

Чтобы найти диаметр и образующую прямого цилиндра, необходимо знать его высоту и радиус или диаметр основания. Однако можно использовать любую из формул, зная два из трех параметров, чтобы найти недостающий.

Цилиндр

Что общего у джентльмена 19 века, Вилли Вонка из «Чарли и шоколадная фабрика», Шерлока Холмса в экранизации «Безобразная невеста» и некоторых сценических костюмов? Цилиндр! О нем, вернее о фигуре цилиндра и поговорим в статье.

Понятие цилиндра

Сейчас мы говорим про мужской головной убор, который был популярен в 19 веке и стал достаточно узнаваем в массовой культуре. Оказывается, в математике также существует цилиндр. И они похожи по форме.

Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Возможно, для уточнения некоторых терминов вам захочется заглянуть в статью «Тела вращения».

Если посмотреть на форму шляпы, то она действительно будет похожа на геометрическую фигуру. Встретить цилиндр можно и в наше время. Обычная кружка является цилиндром.

Прямая, вокруг которой мы крутили прямоугольник, чтобы получить цилиндр, — это ось цилиндра.

Также, как у Земли есть ось вращения, она есть и у цилиндра.

Наша кружка стоит на круглом дне. Это дно, как и самый верх кружки, будут называться основаниями цилиндра.

Снова посмотрим на стенки кружки. В цилиндре эта поверхность будет называться цилиндрической поверхностью. Ее также могут называть боковой поверхностью цилиндра.

Представим, что наша кружка раскрашена вертикальными линиями. Эти линии будут лежать на цилиндрической поверхности и перпендикулярны основаниям. У них есть название:

Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований.

Все образующие, — а в цилиндре их очень-очень много, —лежат только на цилиндрической поверхности. Эта поверхность и состоит из множества образующих.

Узнаем ширину кружки. Для этого нужно измерить радиус дна. Этот же радиус будет радиусом основания, а в цилиндре он называется радиусом цилиндра.

Теперь найдем высоту кружки. Для этого нужно измерить расстояние от дна до самого верха кружки.

В математике это будет расстоянием между плоскостями, а ищется оно как длина перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Подробнее про это можно прочесть в статье «Расстояния между фигурами».

Высота цилиндра — перпендикуляр, опущенный из плоскости одного основания на плоскость второго основания.

Свойства цилиндра

Рассмотрим, какими свойствами обладает цилиндр.

Свойство 1. Основания цилиндра равны и параллельны.

Это всегда два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях.

Свойство 2. Образующие цилиндра равны и параллельны.

Поскольку все образующие перпендикулярны основаниям, то они параллельны между собой по свойству прямой и перпендикулярной ей плоскости. Подробнее про это свойство можно прочесть в статье «Углы в пространстве».

А равны они потому, что являются перпендикуляром к основаниям, то есть равны высоте цилиндра.

Свойство 3. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра, является прямоугольником. Такое сечение в цилиндре будет называться осевым сечением цилиндра.

Например, если разрезать тортик по диаметру, то место среза как раз будет прямоугольником.

Подробности про сечения фигур можно найти в статье «Сечения».

Свойство 4. Сечение цилиндра, проходящее параллельно оси цилиндра и перпендикулярно его основаниям, будет являться прямоугольником.

Свойство 5. Сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, является кругом с радиусом, равным радиусу цилиндра. Такое сечение в цилиндре называется перпендикулярным сечением цилиндра.

Если налить в кружку воду, то ее поверхность примет круглую форму. При этом совершенно без разницы, сколько воды наливать: поверхность останется кругом.

Поскольку поверхность воды параллельна дну кружки, то есть основаниям цилиндра, то она является перпендикулярным сечением цилиндра.

Заметим, что все вышеописанные свойства относятся к прямому цилиндру.

Цилиндр также может быть наклонным. В этом случае ось цилиндра и его образующие не будут перпендикулярны основаниям.

Если мы разрежем поверхность цилиндра по одной из его образующих и как бы “развернем” ее, у нас получится прямоугольник.

Это также легко увидеть, если вспомнить художников с тубусами. Тубус имеет форму цилиндра, и свернутый прямоугольный лист принимает такую же форму.

Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а вторая — длине окружности его основания.

Формулы цилиндра

А если это прямоугольник, то мы знаем, как найти его площадь. Нам нужно умножить его длину на высоту. Так мы получаем площадь боковой поверхности цилиндра.

В этой формуле 2R — длина окружности основания, где R — его радиус, а Н — образующая (или высота) цилиндра. Подробнее про площадь прямоугольника и длину окружности (а также про площадь круга) можно прочесть в статьях «Параллелограмм» и «Окружность и круг».

Мы нашли площадь боковой поверхности. Как же теперь найти площадь полной поверхности?

Для этого нужно сложить площади боковой поверхности и оснований. Следовательно, мы получаем следующую формулу.

\(S = S_ <бок.>+ 2S_ <осн.>= 2 \pi RH+2 \pi R^2 = 2 \pi R(H + R)\)

Допустим, мы решили сделать чашку очень вкусного чая, но чтобы правильно его заварить нам нужно знать точный объем воды. Для этого вычислим объем цилиндра. Воспользуемся следующей формулой:

В этой формуле R — радиус цилиндра, Н — высота.

Часто формулу объема можно применить для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду.

Пример 1. В цилиндрическом сосуде налито 1650 см 3 жидкости. В этот сосуд опустили деталь. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см 3 .

Решение.

Шаг 1. Выразим высоту жидкости в первый и второй раз. Пусть вначале уровень жидкости был равен х, значит после того, как в нее опустили деталь, он стал равен 1,2х.

Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после того, как в него опустили деталь, будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = V_ж + V_д.

Шаг 3. С помощью объема жидкости выразим площадь основания сосуда:

Шаг 4. Подставим площадь основания в формулу объема жидкости после того, как в нее опустили деталь:

Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:

Ответ: 330 см 3

Фактчек

• Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр может быть прямым и наклонным. В наклонном цилиндре ось не перпендикулярна основаниям цилиндра.
• Цилиндр состоит из двух оснований и цилиндрической поверхности (боковой поверхности цилиндра). Основания имеют форму кругов, равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Развертка боковой поверхности имеет форму прямоугольника.
• Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований. В прямом цилиндре образующая равна высоте цилиндра. Образующие равны и параллельны друг другу, а также образуют боковую поверхность цилиндра.
• Осевое сечение цилиндра проходит через его ось и является прямоугольником. Любое сечение, параллельное осевому, также будет являться прямоугольником. Перпендикулярное сечение проходит перпендикулярно оси цилиндра и параллельно его основаниям. Перпендикулярное сечение имеет форму круга.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое образующая цилиндра?

1. Ось вращения, с помощью которой получен цилиндр.
2. Диаметр оснований цилиндра.
3. Любой перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
4. Отрезок, соединяющий точки окружности основания.

Задание 2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равняется 44. Его радиус равен 8. Найдите высоту цилиндра.

1. 2,75
2. 5,5
3. \(2,75 \pi\)
4. 2

Задание 3.
Площадь основания цилиндра равна 16. Его высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1. 64
2. \(64 \pi\)
3. 32
4. \(32 \pi\)

Задание 4.
Объем цилиндра равен 28, а его высота равняется 7. Найдите диаметр основания.

1. 4
2. 2
3. 16
4. 8

Ответы: 1. – 4 2. – 1 3. – 2 4. – 1

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10, а диаметр основания 6см/ найдите длину образующего цилиндра

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, длина стороны AC известна — 6 см.
Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем длину стороны CB:

CB = √(102 — 62) = √(100 — 36) = √64 = 8

образующая цилиндра равна 8 см.

Изобразим схематически цилиндр с заданным сечением

Цилиндр это объемная фигура (тело), которая образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Такая сторона является осью цилиндра. Параллельная ей сторона – называется образующей цилиндра.

Если изобразить плоскость, которая содержит ось цилиндра, то часть такой плоскости, находящаяся внутри цилиндра, и будет осевым сечением цилиндра. По своей форме осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. http://bit.ly/2jgTcOm

Порядок изображения исходных данных:

1. рисуем цилиндр;
2. изображаем ось цилиндра ОЕ, которая проходит через центры оснований цилиндра (точки О и Е);
3. проводим два диаметра (в каждом из двух оснований) AD и ВС, которые параллельны;
4. ABCD и есть осевое сечение цилиндра;
5. обозначим диагональ осевого сечения, например, АС.

Найдем длину образующей цилиндра

На построенном чертеже образующими являются АВ и CD. Поскольку АВСД – это прямоугольник, то АВ = CD. Для нахождения длины образующей рассмотрим треугольник АВС: АС = 10 см (диагональ сечения), ВС = 6 см (диаметр основания), угол В = 90 градусов.

Таким образом, имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором известны гипотенуза и один катет. АВ – второй, неизвестный катет, который можно найти из теоремы Пифагора:
АВ^2 + BC^2 = AC^2.

Подставим числовые данные в формулу:
АВ^2 + 6^2 = 10^2;
АВ^2 + 36 = 100;
АВ^2 = 100 – 36 = 64;
АВ = 8 см

Определение цилиндра: его основание и высота, разновидности

Разбираемся в особенностях трехмерного геометрического тела под названием цилиндр. Смотрим виды цилиндров, его свойства, какие бывают развертки, а также даем определения составным частям этой фигуры.

Что такое цилиндр в геометрии

Цилиндр — это трехмерное геометрическое тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями.

Цилиндрическая поверхность — это поверхность, которая образуется за счет движения в пространстве прямой (образующей) параллельно самой себе, пересекающей данную линию (направляющую).

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Основания — это одинаковые круги, которые ограничивают цилиндр и находятся параллельно друг другу.

Образующая — отрезок, который соединяет точки окружностей оснований цилиндра и перпендикулярный плоскостям этих оснований. Она равна высоте цилиндра или расстоянию от одного его основания до другого.

Виды цилиндров

Классификация цилиндров может быть разной в зависимости от тех или иных параметров:

• по наклону образующей;
• по форме основания.

У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны основаниям фигуры.

В случае, когда этот угол не равен \(90^\circ\) , цилиндр называют наклонным.

Помимо кругов, в основаниях фигуры могут быть еще и эллипсы или другие замкнутые фигуры. Однако, кроме замкнутых форм, основании цилиндру может служить и парабола, и гипербола, и любая друга открытая функция. Такой цилиндр будет называться развернутым.

Как найти высоту цилиндра

Рассмотрим варианты нахождения высоты фигуры, а также длины ее образующей (которая равна этой высоте).

• Первым делом взглянем на формулу: \(V=\pi R^2\times H\) , где V — объем цилиндра, R — радиус основания, H — высота фигуры.

Через эту формулу можем выразить высоту:

Таким образом мы можем узнать H данного геометрического тела, если нам известен его объем и радиус. Если же вместо радиуса мы знаем диаметр, формула расчета будет выглядеть так:

В случае, когда нам известен диаметр и площадь фигуры, мы так же можем найти высоту. Следует обратить внимание, что в зависимости от того, будет ли известна площадь боковой или полной поверхности, формула будет меняться.

Для расчета S боковой поверхности (часть, ограниченная цилиндрической поверхностью) цилиндра мы используем формулу:

выражаем H и получаем:

Если известна S полной поверхности (включает в себя площадь оснований фигуры), используем формулу:

\(S=2\pi R(H+R)=2\pi R\times H+2\pi R^2\)

выражаем H и получаем:

• Для третьего способа нужно будет провести прямоугольное сечение, ширина которого должна будет совпадать с диаметрами оснований, а длина — с образующими цилиндра.

Таким образом, получается прямоугольный треугольник САВ. А так как высота равна образующей, мы можем вычислить ее по теореме Пифагора:

Развертка

Как уже было упомянуто выше, всего существует две площади поверхности цилиндра: боковой поверхности и полной поверхности. У каждой из них также есть и своя развертка. Разберемся, как они выглядят.

Развертка боковой поверхности

Легче всего представить себе развертку боковой поверхности цилиндра, посмотрев на этикетку пластиковой бутылки. Когда вы ее отклеиваете, то видите прямоугольник. То же самое и с цилиндрическим геометрическим телом: развёрткой его боковой поверхности является прямоугольник. Его длина соответствует длине окружности, лежащей в основании, а ширина — высоте самой трехмерной фигуры.

Развертка полной поверхности

Если развернуть полную поверхность цилиндра, получится примерно то же самое, только с двумя дополнительными элементами в виде окружностей оснований. Выглядит это так: