Как называется точка в которой f x меняет знак с на

Экстремумы функции

Мы уже рассматривали понятие локального экстремума ранее. Необходимые условия экстремума легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции $f(x)$ следует искать среди тех точек области ее определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует.

В дальнейшем будем часто опускать слово «локальный» при формулировке утверждений, связанных с понятием локального экстремума.

Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю либо не существует, — ее критическими точками. Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек.

Точка $x=0$ является критической точкой для каждой из функций $y=x^2$, $y=x^<3>$, $y=|x|$, $y=|x|^<1/2>$, $у=\sqrt[3]$, причем для функций $у=x^2$, $y=|x|$, $у=|x|^<1/2>$ точка $x=0$ — точка экстремума, а для функций $у=x^3$, $у=x^<1/3>$ эта точка не является точкой экстремума.

Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.

Достаточные условия экстремума.

Введем понятие строгого экстремума.

Точка $x_0$ называется точкой строгого максимума функции $f(x)$, если
$$
\exists\delta > 0:\ \forall x\in\dot_<\delta>(x_0)\rightarrow f(x) < f(x_0).\label
$$
Аналогично, $x_0$ называют точкой строгого минимума функции $f(x)$, если
$$
\exists\delta > 0:\ \forall x\in\dot_<\delta>(x_0)\rightarrow f(x) > f(x_0).\label
$$

Отметим, что если функция $f(x)$, определенная в $\delta$-окрестности точки $x_0$, строго возрастает на промежутке $(x_0-\delta,x_0]$ и строго убывает на промежутке $[x_0,x_0+\delta)$, то выполняется условие \eqref, и поэтому $x_0$ является точкой строгого максимума функции $f(x)$.

Аналогично формулируется достаточное условие строгого минимума.

Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференцируемых функций. Для формулировки первого достаточного условия и в дальнейшем нам потребуется понятие смены знака функции.

Если функция $g(x)$ определена в проколотой $\delta$-окрестности точки $x_<0>$ и для всех $х\in (x_0-\delta,x_0)$ выполняется неравенство $g(x) < 0$, а для всех $x\in(x_0,x_<0>+\delta)$ — неравенство $g(x) > 0$, то говорят, что функция $g(x)$ меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x_0$.

Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус при переходе через точку $x_0$.

Если $x_<0>$ — точка строгого экстремума функции $f(x)$, то есть выполняется одно из условий \eqref, \eqref, то разность $f(x)-f(x_0)$ сохраняет знак в $\dot_<\delta>(x_<0>)$.

Обратно: если разность $f(x)-f(x_0)$ сохраняет знак в $\dot_<\delta>(x_<0>)$, то $x_<0>$ — точка строгого экстремума функции $f(x)$. Если же эта разность меняет знак при переходе через точку $x_0$, то функция $f(x)$ не имеет экстремума в точке $x_<0>$.

(Первое достаточное условие строгого экстремума).

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0$, кроме, быть может, самой точки $x_0$ и непрерывна в точке $x_0$. Тогда:

\forall x\in (x_<0>-\delta,x_0)\rightarrow f'(x) < 0,\\
\forall x\in (x_<0>,x_0+\delta)\rightarrow f'(x) > 0,
\end\label
$$
то $x_0$ — точка строгого минимума функции $f$ (рис. 20.2).

$\circ$ Пусть функция $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x_0$, тогда выполняется условие \eqref.

Если $x$ — произвольная точка интервала $(x_0-\delta,x_0)$, то функция $f$ дифференцируема на интервале $(x,x_0)$ и непрерывна на отрезке $[x,x_<0>]$. По теореме Лагранжа
$$
f(x)-f(x_<0>)=f'(\xi)(x-x_<0>),\nonumber
$$
где $f'(\xi) < 0$, так как $x_0-\delta < x < \xi < x_<0>$ и $x-x_0 < 0$. Отсюда следует, что
$$
\forall x\in(x_0-\delta,x_0)\rightarrow f(x) > f(x_0).\label
$$
Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке $[x_0,x]$, где $x_ <0>< x < x_<0>+\delta$, получаем, что
$$
\forall x\in (x,x_0+\delta)\rightarrow f(x) > f(x_0).\label
$$
Из условий \eqref) и \eqref следует утверждение \eqref. Это означает, что $x_<0>$ — точка строгого минимума функции $f(x)$.

Аналогично рассматривается случай строгого максимума. $\bullet$

Если $x_0$ — точка строгого экстремума функции $f(x)$, то из этого не следует, что функция $f'(x)$ меняет знак при переходе через точку $x_0$.

(Второе достаточное условие строгого экстремума).

Пусть $x_<0>$ — стационарная точка функции $f(x)$, то есть
$$
f'(x_0)=0,\label
$$
И пусть существует $f″(x_0)$.

если $f″(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка строгого минимума функции $f(x)$;
если $f″(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка строгого максимума функции $f(x)$.

$\circ$ Если $f″(x_0) > 0$, то функция $f'(x)$ является возрастающей в точке $x_0$ (мы это уже доказывали), то есть существует $\delta > 0$ такое, что
$$
\forall x\in (x_0-\delta,x_0)\rightarrow f'(x) < f'(x_0)=0,\nonumber
$$
$$
\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\rightarrow f'(x) > f'(x_0)=0,\nonumber
$$
откуда следует, что $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x_0$. Согласно предыдущей теореме точка $x_0$ — точка строгого минимума функции $f(x)$. Аналогично рассматривается случай $f″(x_<0>) < 0$. $\bullet$

Например, если $f(x)=x^2$, то $f'(0)=0,\ f″(0)=2$, и поэтому $x_0=0$ — точка строгого минимума функции $f(x)=x^2$.

Если $f'(x_0)=0$ и $f″(x_0)=0$, то в точке $x_0$ функция $f$ может иметь экстремум ($f(x)=x^4,\ x_0=0$), а может и не иметь ($f(x)=x^3,\ x=0$). Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для случая $f″(x)=0$.

(Третье достаточное условие строгого экстремума).

Если $n$ — четное число, то $x_0$ — точка экстремума функции $f(x)$, а именно точка строгого максимума в случае $f^<(n)>(x_0) < 0$ и точка строгого минимума в случае $f^<(n)>(x_0) > 0$.
Если $n$ — нечетное число, то $x_0$ не является точкой экстремума функции $f(x)$.

$\circ$ Используя локальную формулу Тейлора для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ и условия \eqref, получаем
$$
f(x)-f(x_0)=\frac(x_<0>)>(x-x_0)^+o((x-x_0)^n).\label
$$
Из условия \eqref следует, что равенство \eqref можно записать в виде
$$
f(x)-f(x_0)=\frac(x_<0>)>(x-x_0)^(1+\alpha(x)),\label
$$
где $\alpha(x)=o(1)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow x_0$, так как $Co((x-x_0)^n)=o((x-x_0)^n)$ при $C\neq 0\ (C=\operatorname)$. Поэтому $\exists\delta > 0:\ \forall x\in \dot_<\delta>(x_0)\rightarrow |\alpha(x)| < \displaystyle \frac<1><2>$, откуда следует, что
$$
1+\alpha(x) > 0\ для \ x\in\dot_<\delta>(x_<0>).\label
$$
Из равенства \eqref в силу условия \eqref получаем
$$
\operatorname(f(x)-f(x_0))=\operatorname(f^<(n)>(x_<0>)(x-x_0)^n)\ \forall x\in\dot_<\delta>(x_<0>).\label
$$

Пусть $n$ — четное число ($n=2k$), тогда
$$
\forall x\in \dot_<\delta>(x_0)\rightarrow (x-x_0)^=(x-x_0)^ <2k>> 0,\nonumber
$$
и из равенства \eqref получаем
$$
\operatorname(f(x)-f(x_0))=\operatornamef^<(n)>(x_<0>).\nonumber
$$Если $f^<(n)>(x_<0>) > 0$, то для $x\in \dot_<\delta>(x_<0>)$ выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_0) > 0.\nonumber
$$
Это означает, что $x_0$ — точка строгого минимума функции $f(x)$.Аналогично, если $f^<(n)>(x_<0>) < 0$, то
$$
f(x)-f(x_0) < 0\ для \ x\in\dot_<\delta>(x_<0>),\nonumber
$$
то есть $x_0$ — точка строгого максимума функции $f(x)$.

Пусть $n=2k+1$, тогда из формулы \eqref следует, что разность $f(x)-f(x_0)$ меняет знак при переходе через точку $x_0$, так как функция $(x-x_0)^<2k+1>$ меняет знак при переходе через точку $x_0$. Это означает, что $x_0$ не является точкой экстремума функции $f(x)$. $\bullet$

Найти точки экстремума функции $f(x)$, если:

$f(x)=(x-2)^2(x+1)^3$;
$f(x)=|x^2-4|е^<-|x|>$.

$\triangle$ Функция дифференцируема на $\mathbb$, поэтому все ее точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения $f'(x)=0$, то есть уравнения
$$
f'(x)=2(x-2)(x+1)^<3>+3(x+1)^<2>(x-2)^<2>=(x-2)(x+1)^<2>(5x-4)=0.\nonumber
$$
Это уравнение имеет корни $x_1=-1,\ x_2=\frac<4><5>,\ x_3=2$, причем при переходе через точку $x_1$ функция $f'(x)$ не меняет знака, при переходе через точку $x_2$ она меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку $x_3$ — с минуса на плюс.

Уравнение $g'(x)=(-x^2+2x+4)e^<-x>=0$ имеет на промежутке $(0,+\infty)$ единственный корень $x_1=1+\sqrt<5>$, причем $g'(x)=f'(x)$ при $x > 2$ и $g'(x)$ меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x_1$. Поэтому $x_1$ — точка строгого максимума функции $f(x)$.

При переходе через точку $x_2=2$ функция $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс, так как $f'(x)=-g'(x)$ при $x\in(0,2)$ и $f'(x)=g'(x)$ при $x > 2$. Поэтому $x_2$ — точка строгого минимума функции $f(x)$.

Учитывая, что функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(0,2)$ и четная, заключаем отсюда, что $x=0$ — точка строгого максимума функции $f(x)$.

Когда меняются знаки функций на интервалах: правила и примеры

Знак функции — это отношение между аргументом и значением функции. Изучение знака функции на интервалах является одним из важных этапов в изучении математического анализа. При решении многих задач необходимо знать, когда меняется знак функции на интервалах и как это влияет на уравнение.

Суть знака функции на интервалах заключается в том, что существует определяющий набор значений функции, при которых знаки на интервалах изменяются. Например, знак функции может меняться при пересечении оси абсцисс.

Одним из способов решения вопроса о знаке функции является анализ производной функции. Если производная функции на интервале положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то функция убывает. Это помогает определить, когда меняется знак функции на интервалах.

Далее в статье рассмотрим, какие бывают правила изменения знака функции на интервалах и дадим несколько примеров для лучшего понимания темы.

Правила изменения знаков функций

Знак функции определяет её поведение на интервалах. На некоторых интервалах функция может быть положительной, на других — отрицательной. Значения, при которых функция обращается в ноль, называются корнями функции.

Первое правило изменения знаков функций заключается в том, что при переходе через корень функция меняет знак. Например, если на интервале (–∞; 0) функция положительна, а на интервале (0; +∞) отрицательна, то 0 является корнем функции, при котором происходит смена знака.

Второе правило изменения знаков функций связано с экстремумами функции. Если функция имеет локальный экстремум, то знак функции меняется при переходе через точку экстремума. Если экстремум — максимум, то функция меняет знак на отрезке слева от точки экстремума. Если экстремум — минимум, то знак функции меняется на отрезке справа от точки экстремума.

Третье правило относится к функциям, которые изначально неотрицательны или неотрицательны на отрезке [a; b]. Если такая функция удовлетворяет условию монотонности на [a; b], то она останется неотрицательной на этом отрезке. Если же функция будет отрицательной, то это может произойти только при наличии корней на этом отрезке.

Необходимо помнить, что изменения знака функций имеют важное значение при решении уравнений и неравенств. Знание этих правил поможет правильно разбираться в задачах и находить границы изменения функций в различных областях определения.

Примеры изменения знаков функций

Знание того, когда меняются знаки функций на интервалах, очень важно в анализе функций. Рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять это правило.

Пример 1:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 — 4x + 3. Найдем ее корни, используя формулу дискриминанта: D = b^2 — 4ac. Дискриминант равен 4 — 4 * 1 * 3 = -8, так как D меньше нуля, уравнение не имеет корней. Теперь проанализируем знак функции на интервалах. Изучив знаки коэффициентов функции, получаем, что она возрастает на интервалах (-бесконечность; 1) и (3; +бесконечность), а убывает на интервале (1; 3).

Пример 2:

Рассмотрим функцию f(x) = (x — 2)^3 — 2. Найдем производную: f'(x) = 3(x — 2)^2. Так как производная не меняет знак на интервале (-бесконечность; +бесконечность), мы можем сделать вывод, что функция монотонно возрастает на этом интервале.

Пример 3:

Рассмотрим функцию f(x) = (x + 1)^2(x — 3). Найдем ее корни: x = -1 и x = 3. Теперь проанализируем знак функции на интервалах. Мы видим, что функция меняет знак на интервалах (-бесконечность; -1), (-1; 3) и (3; +бесконечность). На интервале (-бесконечность; -1) она отрицательна, на интервале (-1; 3) положительна, а на интервале (3; +бесконечность) снова отрицательна.

Таким образом, знание правил изменения знаков функций на интервалах позволяет нам анализировать функции и строить их графики.

Вопрос-ответ:

Какие правила определяют изменение знака функции на интервалах?

Если функция является положительной на каком-то интервале, то она меняет знак на отрицательный, если в этом же интервале она становится отрицательной, и наоборот — если функция отрицательна на интервале, то она меняет знак на положительный, если на этом интервале она становится положительной.

Какие примеры функций можно привести для наглядности?

Примерами могут служить, например, функции f(x) = x^3 — 2x^2 + x и g(x) = sin(x), которые меняют знак на отрезках [-∞,0.37] и [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2], k — целое число, соответственно.

Если функция имеет асимптоту, как это влияет на изменение её знака на интервалах?

При наличии асимптоты функция может иметь разное поведение до и после этой асимптоты, поэтому изменение знака функции на интервалах нужно рассматривать для каждого участка отдельно.

В чём отличие положительных и отрицательных функций?

Положительные функции всегда больше нуля на всём интервале определения, а отрицательные всегда меньше нуля. При этом, если функция имеет положительные и отрицательные участки, то она меняет знак на пересечении этих участков, то есть на нулях или точках разрыва.

Как распознать точку разрыва на графике функции?

Точка разрыва функции на графике представляет собой вертикальную прямую, в которой сама функция или её производная не определены. Обычно такая точка обозначается кругом на графике.

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Точка экстремума функции — это точка области определения функции, в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции.

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций. И ещё потребуются таблица производных простых функций и таблица производных сложных функций (откроются в новом окне), так как в примерах указано, какая именно табличная производная найдена.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

рисунок, на котором показаны экстремумы функции - x2 минимум и x1 максимум

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.

Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) < f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 — точка максимума функции f(x) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает, поэтому производная функции больше нуля ( f ‘(x) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ). Тогда в точке x 1 производная функции равна нулю или не существует.

Допустим также, что точка x 2 — точка минимума функции f(x) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля ( f ‘(x) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции). Если точка x 0 — точка экстремума функции f(x) , то в этой точке производная функции равна нулю ( f ‘(x) = 0 ) или не существует.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

график функции, не имеющей экстремумов, при том, что критическая точка существует

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно — максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:

Найти производную функции.
Приравнять производную нулю и определить критические точки.
Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с «плюса» на «минус», то критическая точка является точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.
Вычислить значение функции в точках экстремума.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

график функции, имеющей один экстремум - минимум

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции (в таблице производных сложных функций — производная 6):

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 — знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности — знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю ( f »(x) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля ( f »(x) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля ( f »(x) < 0 ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер — это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок — максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок — минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

рисунок, на котором показаны экстремумы функции - x2 минимум и x1 максимум

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума — наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума — точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции и построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная (и первое, и второе слагаемые — табличная производная 3) существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную (каждое слагаемое находим как табличную производную 3) и критические точки функции:

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок — в начале примера.

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти экстремумы функции .

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Пример 7. Найти экстремумы функции .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции (производная вида 2 в таблице производных сложной функции):

Найдём критические точки функции:

Точки и не могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке — с минуса на плюс. Следовательно, — точка максимума, а точка — точка минимума функции.

Найдём значения функции в этих точках:

Таким образом, экстремумы функции:

Пример 9. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции.

Найдём критические точки функции:

Таким образом, у данной функции две критические точки: и . Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку производная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку — начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, — точка минимума функции.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, минимум функции:

Пример 10. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём первую производную функции (первое слагаемое — производная вида 12 в таблице производных простых функций, второе — производная вида 6 в таблице производных сложной функции):

Найдём критические точки функции:

Так как для любого действительного x должно выполняться условие , то

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку производная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, — точка максимума функции.

Как называется точка в которой f x меняет знак с на

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точка x_о является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(x_о):

Упрощенная формулировка : если в точке x_о производная меняет знак с плюса на минус, то x_о является точкой максимума.

Точка х_о является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(x_о):

Упрощенная формулировка : если в точке x_о производная меняет знак с минуса на плюс, то x_о является точкой минимума.

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума:

Если x_о – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие экстремума:

Пусть x_о – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак плюс на минус, то x_о – точка максимума:

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку x_о меняет знак минус на плюс, то x_о – точка минимума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

Как называется точка в которой f x меняет знак с на

Экстремумы функции

Достаточные условия экстремума.

Когда меняются знаки функций на интервалах: правила и примеры

Правила изменения знаков функций

Примеры изменения знаков функций

Вопрос-ответ:

Какие правила определяют изменение знака функции на интервалах?

Какие примеры функций можно привести для наглядности?

Если функция имеет асимптоту, как это влияет на изменение её знака на интервалах?

В чём отличие положительных и отрицательных функций?

Как распознать точку разрыва на графике функции?

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Локальный характер экстремумов функции

Ищем экстремумы функции вместе

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Как называется точка в которой f x меняет знак с на

Добавить комментарий Отменить ответ